유한요소법(FEM)의 물리적 정확성과 위치 기반 역학(PBD)의 계산 효율성을 결합한 새로운 암시적 시간 적분 솔버를 제안합니다. 교대 최적화 기법을 사용하여 다양한 물리적 제약 조건을 실시간으로 견고하게 처리할 수 있는 것이 핵심입니다.

우리는 물리 시스템의 암시적 시간 적분(implicit time integration)을 위한 새로운 방법을 제시합니다. 우리의 접근 방식은 절점 기반 유한요소법(Finite Element methods)과 위치 기반 역학(Position Based Dynamics) 사이의 가교를 구축하여, 단순하고 효율적이며 견고하면서도 정확한 솔버를 제공합니다. 이 솔버는 다양한 유형의 제약 조건을 지원합니다.

우리는 교대 최적화(alternating optimization) 방식을 통해 효율적으로 해결할 수 있는 특별히 설계된 에너지 포텐셜을 제안합니다. 연속체 역학(continuum mechanics)에서 영감을 얻어, 우리 솔버에 효율적으로 통합될 수 있는 일련의 연속체 기반 포텐셜을 도출했습니다.

우리는 고체, 천, 쉘 시뮬레이션부터 예제 기반 시뮬레이션에 이르기까지 다양한 응용 분야에서 우리 방식의 범용성과 견고함을 입증합니다. 뉴턴 기반 솔버 및 위치 기반 역학 솔버와의 비교를 통해 우리 공식의 장점을 강조합니다.

본 논문은 정확하지만 느린 연속체 역학 기반 방법과 빠르지만 물리적 근거가 부족한 PBD의 장점을 결합한 '투영 역학(Projective Dynamics)'을 제안합니다. 이 방법은 로컬-글로벌 최적화 구조를 통해 대규모 제약 조건을 실시간으로 처리하면서도 물리적 정확성과 수치적 견고함을 동시에 달성합니다.

변형 가능한 재질의 물리 기반 시뮬레이션은 컴퓨터 그래픽스의 많은 분야에서 필수적인 도구가 되었습니다. 가상 세계와 최근의 캐릭터 애니메이션은 근육, 지방, 머리카락, 의류 또는 식생을 시뮬레이션함으로써 시각적 경험을 크게 향상시키기 위해 정교한 시뮬레이션을 통합합니다. 이러한 모델은 종종 연속체 역학 공식의 유한 요소 이산화(FEM)를 기반으로 하며, 이를 통해 복잡한 비선형 재질을 매우 정확하게 시뮬레이션할 수 있습니다.

사실성과 정확성 외에도 컴퓨터 그래픽스 응용 분야에서는 몇 가지 다른 기준도 중요합니다. 범용성이란 고체, 쉘, 로드와 같은 다양한 유형의 기하학적 구조, 다양한 재질 특성, 또는 고전적 물리 시뮬레이션에 대한 예술적 제어가 가능한 확장 등 광범위한 거동을 시뮬레이션할 수 있는 능력을 의미합니다. 견고함(Robustness)은 큰 변형, 퇴화된 기하학적 구조, 큰 시간 단계(time step)를 포함한 어려운 상황을 적절히 처리할 수 있는 능력을 말합니다. 견고함은 컴퓨터 게임이나 의료 훈련 시뮬레이터와 같이 시뮬레이션을 다시 실행할 '두 번째 기회'가 없는 실시간 응용 분야에서 특히 중요합니다. 솔버의 단순성은 실제적인 관련성 측면에서 종종 중요합니다. 이해하기 쉬운 개념과 그에 따른 가벼운 코드베이스를 기반으로 구축하면 시뮬레이터의 유지보수가 쉬워지고 특정 응용 분야의 요구에 맞게 조정할 수 있습니다. 성능은 실시간 응용 분야를 가능하게 하는 핵심 기준입니다. 그러나 성능은 새로운 장면과 시뮬레이션 파라미터를 테스트하는 데 걸리는 시간을 최소화해야 하는 오프라인 시뮬레이션에서도 못지않게 중요합니다.

기존의 연속체 역학 접근 방식은 특정 컴퓨터 그래픽스 응용 분야에서 이러한 기준들 사이에 불리한 트레이드오프를 갖는 경우가 많았으며, 이는 Position Based Dynamics (PBD)와 같은 대안적인 방법의 개발로 이어졌습니다. 범용성, 단순성, 견고함 및 효율성 덕분에 PBD는 현재 PhysX, Havok Cloth, Maya nCloth 및 Bullet을 포함한 광범위한 하이엔드 제품에 구현되어 있습니다. 주로 실시간 응용 분야에서 사용되지만, PBD는 오프라인 시뮬레이션에서도 자주 사용됩니다. 그러나 PBD의 이러한 장점은 정확도의 제한이라는 대가를 치르는데, 이는 PBD가 연속체 역학 원리에서 엄밀하게 유도되지 않았기 때문입니다.

우리는 연속체 역학과 PBD 사이의 간극을 메우는 새로운 암시적 통합(implicit integration) 솔버를 제안합니다. 핵심 아이디어는 특정 구조를 가진 에너지 포텐셜을 도입하는 것입니다. 더 정확하게는, 우리의 포텐셜은 제약 조건으로부터의 볼록 이차 거리 측정(convex quadratic distance measure)으로 구성됩니다. 제약 조건은 요소의 바람직한 상태를 표현하는 일반적인 비선형 함수입니다. 예를 들어 사면체의 부피가 주어진 범위 내에 유지되어야 한다는 조건 등이 있습니다. 거리 측정은 주어진 변형된 상태에서 개별 제약 조건이 얼마나 위반되었는지를 수량화합니다. 우리의 솔버는 임의의 기하학적 제약 조건을 처리할 수 있지만, 우리는 연속적인 변형 에너지에서 유도된 특정 제약 조건 세트를 제안합니다. 이러한 연속체 기반 제약 조건은 서로 다른 해상도와 불균일한 테셀레이션을 가진 메시를 다룰 때 파라미터 튜닝을 상당히 단순화해주기 때문에 매우 실용적입니다.

우리의 제약 조건 기반 포텐셜의 주요 장점은 그 구조가 효율적인 로컬/글로벌 최적화(블록 좌표 하강법)를 가능하게 한다는 것입니다. 구체적으로, 로컬 단계는 모든 요소를 제약 매니폴드에 투영하는 것, 즉 요소당 작은 비선형 문제를 푸는 것으로 구성됩니다. 글로벌 단계는 개별 투영의 결과를 결합하여 모든 개별 제약 조건 사이의 타협점을 찾는 동시에 관성 및 외력과 같은 전역적 효과를 고려합니다.

이 로컬/글로벌 접근 방식을 통해 우리는 특별한 주의 조치 없이도 매 반복마다 에너지가 약하게 감소함이 보장되는 암시적 통합 솔버를 공식화할 수 있습니다. 이는 견고함을 보장하기 위해 라인 검색 전략과 특이 또는 비한정 헤시안(Hessian)에 대한 안전장치가 필요한 고전적인 뉴턴 방법과 대조됩니다. 또한, 고정된 제약 조건 세트를 사용하면 글로벌 단계의 선형 시스템을 미리 분해(pre-factor)할 수 있어 계산 시간을 크게 줄일 수 있습니다. 로컬 단계는 독립적인 작은 최적화 문제들로 구성되어 모두 병렬로 실행될 수 있습니다.

우리가 알기로, 우리의 방법은 일반적인 역학 시스템을 시뮬레이션하기 위해 로컬/글로벌 최적화를 적용한 첫 번째 사례입니다. 우리는 이 솔루션이 암시적 통합에 대해 견고하고 효율적인 접근 방식을 제공하며, 종종 고전적인 뉴턴 방법보다 훨씬 뛰어난 성능을 보임을 입증합니다. PBD와 우리 솔버 사이의 연결은 PBD가 유한 요소법(FEM) 및 뉴턴 역학에 기반한 전통적인 접근 방식과 어떻게 관련되는지에 대한 새로운 통찰력을 제공합니다.

이 섹션은 물리 기반 애니메이션의 발전 과정을 검토하며, 기존의 유한요소법(FEM) 기반 암시적 시간 적분법과 뉴턴 방법의 한계를 분석합니다. 특히 위치 기반 역학(PBD)의 장단점을 비교하며, 본 논문이 제안하는 지역/전역 최적화 방식이 어떻게 물리적 정확성과 효율성을 동시에 달성하는지 설명합니다.

Terzopulous 등의 선구적인 연구 이후, 연속체 역학(continuum mechanics)에서 유도된 모델은 물리 기반 애니메이션에서 중요한 역할을 해왔습니다. 기본 원리는 탄성 물체의 변형에 대한 저항을 탄성 포텐셜 에너지(elastic potential energy)로 수량화하는 것이며, 이 에너지의 변분 도함수는 탄성력으로 이어집니다. 불행히도 탄성력은 기본적인 재료 모델에서도 대개 비선형적이며, 이는 결과적인 운동 방정식의 시간 적분을 복잡하게 만듭니다.

컴퓨터 그래픽스에서 사용되는 가장 단순한 시간 적분 스킴은 Explicit(명시적) 방법이지만, 이는 큰 타임 스텝에 매우 취약합니다. Implicit Euler(암시적 오일러) 방법은 강건성(robustness)을 크게 향상시키지만, 매 단계마다 비선형 연립방정식을 풀어야 하는 비용이 발생합니다. 이는 힘 대신 탄성 포텐셜에 직접 작용하는 비볼록 최적화 문제로 공식화될 수 있습니다. 암시적 오일러 적분의 주요 단점 중 하나는 인위적인 수치적 감쇠(artificial numerical damping)입니다. 이로 인해 에너지 보존 특성이 더 우수한 심플렉틱 적분기나 혼합 명시적-암시적 방법(IMEX), 에너지 버저팅(energy budgeting) 등이 개발되었습니다. 그럼에도 불구하고 암시적 오일러 적분은 강건성이 중요하고 수치적 감쇠가 큰 문제가 되지 않는 응용 분야에서 여전히 인기 있는 선택지입니다. 본 논문의 솔버는 암시적 오일러 적분의 변분 형태에서 유도되었으며, 시스템에 제약 조건을 추가하는 방식으로 시간 적분을 직관적으로 생각할 수 있게 해줍니다. 이는 PBD(Position Based Dynamics)와 암시적 오일러 스킴 사이의 연결 고리를 제공하며, 큰 타임 스텝에서도 안정적인 강건하고 효율적인 접근 방식을 결과로 냅니다.

암시적 적분의 구체적인 형태와 상관없이, 뉴턴 방법(Newton's method)은 비선형 방정식을 푸는 계산적 중추로 남아 있습니다. 그러나 이를 강건하게 구현하려면 보수적인 라인 서치 절차와 비한정 헤시안(indefinite Hessians)에 대한 안전장치가 필요합니다. 성능 관점에서 뉴턴 방법의 심각한 단점은 매 반복마다 헤시안 행렬과 그래디언트가 변한다는 점입니다. Quasi-Newton 방법은 근사 헤시안을 사용하여 선형 시스템 풀이를 빠르게 하지만 수렴 속도가 느려집니다. 최근 교대 지역/전역 최적화(alternating local/global optimization)를 가능하게 하는 보조 변수를 도입하여 질량-스프링 시스템의 효율적인 암시적 시간 적분 방법이 제시되었습니다. 블록 좌표 하강법(block coordinate descent)으로도 알려진 이 접근 방식은 기하학 처리 분야에서 큰 성공을 거두었습니다. 우리의 접근 방식 또한 지역/전역 교대 방식을 채용하지만, 선형 스프링에 국한된 기존 연구와 달리 제약 집합으로의 투영(projection onto constraint sets)을 사용하여 일반적인 절점 동적 시스템을 시뮬레이션할 수 있도록 일반화합니다.

우리의 제약 기반 공식은 PBD와 같은 제약 투영 기반의 최근 비전통적 접근 방식과 유사성을 가집니다. 그러나 PBD는 제약 조건을 전역적으로 처리하지 않고 비선형 가우스-세이델(Gauss-Seidel) 방식으로 순차적으로 투영합니다. 이 방식은 구현이 매우 쉽지만, 수렴이 빠르지 않고 재질의 강성이 반복 횟수에 의존하며 결과가 제약 조건의 처리 순서에 영향을 받는다는 단점이 있습니다. 반면, 우리의 방법은 제약을 사용하여 탄성 포텐셜을 공식화하고 이를 뉴턴의 운동 법칙에 따라 관성 항과 엄밀하게 결합합니다. 우리의 솔버는 먼저 모든 제약 투영을 개별적으로 계산한 다음 그들 사이의 최적의 절충안(best compromise)을 찾으므로, 제약 조건의 순서에 독립적입니다. 또한 미분 좌표(differential coordinates)를 사용하여 수렴 속도를 높이며, PBD가 완전히 비탄성적인 거동으로 수렴하는 것과 달리 우리의 솔버는 진정한 암시적 오일러 해로 수렴합니다.

또 다른 관련 개념인 셰이프 매칭(shape matching)은 포텐셜 대신 탄성력을 직접 구축하기 위해 제약 투영을 사용합니다. 스트레인 제한(strain limiting) 또한 기존 시간 적분 방법의 뻣뻣한 시스템 처리를 개선하기 위해 사용되어 왔습니다. 우리의 접근 방식에서도 스트레인 제한을 수행할 수 있지만, 이는 암시적 솔버에 직접 포함되어 처리됩니다.

이 섹션에서는 제약 조건 투영을 위한 에너지 포텐셜의 수학적 구조를 정의하며, 특히 비선형 탄성 에너지를 단순한 2차 거리 측정값과 제약 매니폴드로 분리하여 효율적인 최적화가 가능하게 만드는 핵심 원리를 설명합니다.

이 섹션에서는 우리 방법의 기초가 되는 포텐셜의 특수한 구조를 소개합니다. 먼저 유한 요소법(FEM)으로 이산화된 탄성 모델의 임플리시트 시간 적분(implicit time integration)부터 시작합니다.

Martin/2011/Example-Based Elastic Materials에서 제시된 임플리시트 오일러 적분의 변분 형태를 간략히 살펴보겠습니다. 위치 $q \in \mathbb{R}^{m \times 3}$와 속도 $v \in \mathbb{R}^{m \times 3}$를 가진 $m$개의 정점으로 구성된 메쉬를 가정합니다. 시스템은 이산적인 시간 샘플 $t_1, t_2, \dots$를 통해 뉴턴의 운동 법칙에 따라 시간에 따라 진화합니다. 시간 $t_n$에서 시스템은 $\{q_n, v_n\}$으로 정의됩니다. 외력의 합은 $f_{ext}$, 내력의 합은 $f_{int}$로 정의합니다. 우리는 $f_{int}(q) = -\sum_i \nabla W_i(q)$와 같이 위치에 의존하는 내력을 고려하며, 여기서 $W_i(q)$는 스칼라 포텐셜 에너지 함수입니다.

이 식들을 사용하여 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있습니다.

이 시스템은 다음과 같은 최적화 문제로 변환될 수 있습니다.

직관적으로 이 최소화 문제는 운동량 포텐셜(솔루션이 관성과 외력을 따라야 함)과 탄성 포텐셜(솔루션이 탄성 변형을 최소화해야 함) 사이의 타협점을 설명합니다. 뉴턴 방법을 사용하여 이를 해결할 수 있지만, 매 반복마다 헤시안(Hessian)이 변하여 선형 시스템을 새로 풀어야 하므로 비용이 많이 듭니다.

비선형 연속체 역학에서 변형은 변형률(strain) $E(q)$를 통해 측정됩니다. 실제 사용되는 많은 탄성 포텐셜은 $W(q) = \Psi(E(q))$와 같이 변형률의 함수로 공식화됩니다. 기하학적 관점에서 $E(q) = 0$은 변형되지 않은 모든 가능한 상태들의 제약 매니폴드(constraint manifold)를 정의하며, $\Psi(E(q))$는 변형된 상태가 이 매니폴드에서 얼마나 떨어져 있는지를 측정합니다.

우리의 핵심 관찰은 거리 측정(distance metric)과 제약 매니폴드를 분리(decouple)할 수 있다는 것입니다. 비선형성은 이미 제약 매니폴드에 의해 캡처되므로, 거리 측정 함수는 복잡한 비선형 함수일 필요가 없습니다.

이러한 분리를 통해 우리는 단순한 2차 거리 측정값(quadratic distance measures)을 사용할 수 있습니다. 제약 조건의 비선형성은 제약 집합으로의 투영에 의해 처리되므로, 거리 측정 방식은 단순하게 유지하여 효율성과 견고함을 얻을 수 있습니다.

본 섹션에서는 PBD와 제안된 로컬/글로벌 솔버 사이의 수학적 관계를 엄밀히 규명하고, PBD가 가진 정확도 한계의 원인과 본 논문 방식의 우수성을 분석합니다.

Liu/2013/Fast-Simulation-of-Mass-Spring-Systems이 일반적인 변분법적 implicit Euler와 PBD 사이의 유사성을 암시한 바 있지만, 본 섹션에서는 일반적인 제약 조건에 대해 implicit Euler와 PBD뿐만 아니라, 로컬/글로벌 공식화와 PBD 사이의 정확한 관계를 도출합니다.

이러한 분석은 PBD와 본 논문의 솔버 사이의 긴밀한 연결 고리를 강조하는 동시에, 더 높은 정확도를 얻을 수 있는 근본적인 차이점을 식별합니다.

PBD의 제약 조건 해결 방식이 수학적으로 가우스-자이델 기반의 에너지 최소화임을 증명하고, 상충하는 제약 조건에서의 진동 문제와 반복 계산 시 개별 정점의 운동량이 소실되는 한계를 지적합니다.

고전적인 PBD 솔버는 세 단계를 수행합니다. 첫 번째 단계에서는 내부 힘을 무시한 채 익스플리시트 오일러(explicit Euler) 단계를 통해 위치를 초기화합니다. 두 번째 단계에서는 질량 가중치를 고려하여 현재 구성을 각 제약 조건 집합에 순차적으로 투영함으로써 위치를 업데이트합니다. 마지막 단계에서는 속도를 $v_{n+1} = (q_{n+1} - q_n)/h$로 업데이트합니다.

우리는 PBD의 제약 조건 해결 전략이 실제로는 Eq. 11: PBD 에너지 함수$$\frac{1}{2} \sum_{i} \|M_i^{\frac{1}{2}} (S_i q - p_i)\|^2_F + \delta C_i(p_i)$$ PBD가 최소화하려는 에너지를 나타낸다. 여기서 $M_i$는 제약 조건에 포함된 점들만을 고려한 집중 질량 행렬(lumped mass matrix)이다. 위 에너지에 대해 가우스-자이델(Gauss-Seidel) 방식의 최소화를 수행하고 있음을 보일 수 있습니다.

가우스-자이델 접근 방식은 각 항을 순차적으로 최적화하여 이 에너지를 최소화합니다. 유도를 단순화하기 위해 보정값 $\Delta q = p - q$를 도입하고, 선형화된 제약 조건 $C(q) + tr(\nabla C(q)^T \Delta q) = 0$에 대해 라그랑주 승수(Lagrange multipliers)를 사용하면 다음과 같이 라그랑지안(Lagrangian)을 정의할 수 있습니다.

$\Delta q$에 대한 임계점 조건을 사용하면 최적의 방향 $\Delta q = -\lambda M^{-1} \nabla C(q)$를 찾을 수 있습니다. 라그랑주 승수 $\lambda$는 선형화된 제약 조건이 이 방향에서 0이 되어야 한다는 조건을 통해 구할 수 있으며, 이는 최종적으로 다음 업데이트 식으로 이어집니다.

이론적으로 가우스-자이델 방식은 수렴성이 좋지만, 이는 오직 실행 가능한(feasible) 제약 조건 집합에 대해서만 해당됩니다. 실행 불가능한 집합의 경우, 최적화 문제에 대한 전역적 관점이 부족하기 때문에 가우스-자이델 방식은 서로 호환되지 않는 제약 조건 사이에서 진동(oscillate)하게 됩니다. 예를 들어, 신축 제약 조건과 경계 조건 또는 충돌이 있는 탄성체를 압축할 때 제약 조건이 실행 불가능해질 수 있으며, 이로 인해 솔루션이 수렴하지 않을 수 있습니다.

더 심각한 점은 첫 번째 단계에서 수행되는 운동량 추정에서도 마찬가지라는 것입니다. 운동량을 실제 제약 조건으로 추가하면 완전히 호환되지 않는 제약 조건 집합이 생성되어 수렴을 더욱 악화시킬 수 있습니다. 초기 익스플리시트 오일러 단계를 통해 운동량 제약 조건을 먼저 해결함으로써 전체 객체의 선형 운동량은 유지할 수 있지만, 최적화 반복 횟수가 늘어날수록 각 점의 개별 운동량은 씻겨 나가게(washed away) 됩니다. 이는 본 논문에서 제안하는 임플리시트 오일러 솔버가 제시하는 운동량과 내부 탄성 사이의 타협점을 찾는 것과는 상반되는 결과입니다.

PBD의 한계를 극복하기 위해 가우스-자이델 대신 야코비 솔버를 도입하고 관성 항을 통합하여, 독립적인 국소 투영과 전역적 타협을 거치는 2단계 최적화 방식을 제안합니다. 이를 통해 병렬 처리가 가능해지며 메쉬 해상도에 독립적인 물리적 정확성을 확보할 수 있습니다.

Eq. 11: PBD의 에너지 함수$$\frac{1}{2} \sum_{i} \|M_{i}^{\frac{1}{2}} (S_{i}q - p_{i})\|_{F}^{2} + \delta C_{i}(p_{i})$$PBD가 사실상 최소화하고 있는 에너지로, 관성 항이 누락되어 있어 물리적 정확성이 떨어진다.

수식 11의 관점에서, 우리는 두 단계를 거쳐 이러한 문제들을 간단하게 해결할 수 있습니다. 첫째, 서로 충돌하는 제약 조건을 처리할 수 있도록 Gauss-Seidel 솔버를 Jacobi 솔버로 교체합니다. Jacobi 솔버는 일반적으로 Gauss-Seidel 솔버보다 수렴 속도가 느리지만, 빠른 수렴을 위한 미분 좌표 표현을 사용할 수 있게 해주며 제약 조건 투영의 효율적인 병렬화를 가능하게 하여 이러한 단점을 보완합니다.

둘째, 각 점의 관성(inertia)을 고려하기 위해 최적화 식에 운동량 제약(momentum constraint)을 도입합니다. 연속체 역학의 관점에서 보았듯이, 올바른 거동을 얻으려면 수식 5에서 정의된 운동량 제약 항을 통합하여 각 점의 관성을 다시 추가해야 합니다.

이제 Jacobi 솔버는 2단계 최적화 과정이 됩니다. Local step에서는 현재의 해 $q$를 모든 $p_i$에 대해 수식 11을 풀어 각 제약 조건에 독립적으로 투영합니다. 그 후, $q$에 대한 Global step을 풀어 여러 해 사이의 합의(consensus)에 도달하게 됩니다.

이 단계에서 우리는 이 Jacobi 솔버가 이전 섹션에서 제시한 투영적 암시적 솔버(projective implicit solver) 절차와 얼마나 유사한지 알 수 있습니다. $A_i = B_i = M_i^{1/2}$로 선택하면 이 솔버를 그대로 복원하게 됩니다. 다음 섹션에서 연속체 원리로부터 제약 조건을 유도함으로써, PBD에서 사용되는 단순한 질량 기반 가중치보다 메쉬 테셀레이션 및 수렴에 대해 더 나은 독립성을 달성할 수 있습니다.

이 섹션에서는 수렴 속도를 높이기 위해 그래디언트와 라플라스-벨트라미 연산자를 활용한 연속체 기반 제약 조건을 소개합니다. 특히 변형률 에너지를 통해 메쉬 해상도나 불균일한 이산화에 관계없이 일관된 물리적 거동을 제어하는 방법을 설명합니다.

미분 표현(Differential representations)은 수렴 속도를 향상시키기 위해 본 논문의 로컬/글로벌 솔버에서 매우 중요합니다. 기하학 처리 분야에서 그래디언트(gradient)와 라플라스-벨트라미(Laplace-Beltrami) 연산자는 효율적이고 견고한 모델을 설계하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 이 섹션에서는 이러한 연산자들을 기반으로 변형 중인 재질의 미분적 특성을 제어할 수 있는 일련의 연속체 에너지(continuous energies)를 제시합니다. 우리는 이러한 에너지의 이산화 형태가 메쉬 세분화(mesh refinement) 및 불균일한 이산화 환경에서도 올바른 거동을 가능하게 하는 Equation 7과 유사한 형태를 가짐을 보여줄 것입니다. 이산 포텐셜의 로컬 최적화에 대해서는 부록 A에서 다룹니다.

연속체 에너지. 변형률 에너지는 늘어날 수 있는 재질을 시뮬레이션하는 데 중요합니다. 먼저 2-다양체(2-manifold) 표면에 대해 논의한 후, 그 결과를 부피와 곡선으로 확장하겠습니다. 변형되지 않은 표면을 $R^3$에 매립된 미분 가능한 2-다양체 표면 $S$라고 가정합시다. 변형 전 표면의 조각별 선형 좌표 함수를 $g : S \to R^3$로, 그에 대응하는 변형 후의 함수를 $f : S \to R^3$로 정의합니다. 원하는 점별 변환 $T$의 집합 $M$을 도입하여, 변형된 표면과 변형 전 표면 사이의 국부적 변화량을 측정하는 에너지를 다음과 같이 공식화합니다.

여기서 $\nabla_S$는 다양체 표면 $S$ 위에서 정의된 그래디언트 연산자입니다. 집합 $M$의 선택에 따라 허용되는 모든 정지 상태 구성 $T \nabla_S g$가 결정됩니다. 만약 $M$이 회전 행렬 집합 $SO(3)$라면, 이는 단순히 강체 운동으로부터의 국부적 편차를 측정하는 것이 됩니다. 이 경우 에너지는 Chao/2010/Geometric-Elasticity에서 제시된 변형 모델과 동일합니다. 만약 $M$이 제한된 특이값 $\sigma_{min} < \sigma < \sigma_{max}$을 갖는 행렬 집합이라면, Wang/2010/Isotropic-Strain-Limiting과 유사한 등방성 변형률 제한(isotropic strain limiting)을 달성할 수 있습니다. 이는 Hernandez/2013/Anisotropic-Strain-Limiting을 따라 참조 프레임을 사용하여 이방성(anisotropic) 재질로 더 확장될 수 있습니다.

비압축성 재질 시뮬레이션을 위해 행렬식의 범위를 제한하여 부피 변화를 정밀하게 제어하는 방법을 설명하며, 이를 통해 재질의 압축 및 팽창 허용치를 설정할 수 있습니다.

비압축성 재질을 시뮬레이션하기 위해서는 면적 및 부피 보존이 중요합니다. 수식 15의 연속 에너지를 사용하여, 행렬식(determinant)의 범위가 제한된 행렬들의 집합으로 $M$을 정의할 수 있습니다. 즉, $\sigma_{min} < \det(T) < \sigma_{max}$와 같이 정의함으로써 부피 변화량을 효과적으로 제어할 수 있게 됩니다.

만약 $\sigma_{min} < 1$이면 모델링된 재질은 압축을 허용하며, 마찬가지로 $\sigma_{max} > 1$이면 재질의 팽창을 허용하게 됩니다. Figure 7은 부피 보존과 변형률(strain) 제약 조건이 결합된 사례를 보여줍니다.

제안된 솔버는 특정 제약 조건에 얽매이지 않고 다양한 기하학적 제약을 단일 프레임워크 내에서 처리할 수 있는 범용성을 갖추었으며, 극한의 외력이나 메쉬 변형 상황에서도 수치적 안정성을 유지하는 강건함을 보여줍니다.

본 논문의 솔버는 특정 유형의 제약 조건에 의존하지 않으며, 동일한 설정 내에서 다양한 기하학적 제약 조건을 처리할 수 있습니다. 이를 통해 단일 솔버로 복잡한 장면을 시뮬레이션하고 객체 간의 상호작용을 암시적(implicit) 방식으로 강건하게 처리할 수 있습니다. Figure 1에서는 서로 결합된 다양한 제약 조건 유형을 가진 복잡한 장면을 보여줍니다. 예를 들어, 나무와 집은 체적 변형률(volumetric strain) 제약으로 모델링된 반면, 빨랫줄, 옷감, 풀, 나뭇잎은 에지 변형률 및 굽힘(bending) 제약을 사용합니다.

천과 쉘의 경우, Figure 10에서는 해적 깃발의 거동을 모델링하기 위해 단순히 에지 변형률 제약을 사용했습니다. 풍력은 바람의 방향과 삼각형 법선의 함수로 추가됩니다. 바람의 힘이 너무 강해지면 해적 깃발이 찢어지는데, 이는 변형률이 특정 임계값을 초과할 때 에지 제약을 제거함으로써 구현됩니다. Figure 6에서 보듯, 소량에서 중간 정도의 신축이 가능한 더 복잡한 옷감은 삼각형 변형률 제한과 굽힘 제약을 결합하여 모델링할 수 있습니다. 변형률과 굽힘 제약의 가중치를 조절함으로써 얇은 판이나 얇은 쉘과 같은 다른 유형의 재질도 시뮬레이션할 수 있습니다. Figure 9에서는 위에서 압축되는 얇은 실린더가 변형률과 굽힘 제약 강성의 비율에 따라 서로 다른 좌굴(buckling) 패턴을 보이는 예시를 확인할 수 있습니다.

고체 및 예제 기반 시뮬레이션의 경우, 사면체 메쉬에 변형률과 부피 제약을 결합하여 고체를 시뮬레이션합니다. Figure 7에 나타난 것처럼, 이러한 제약들을 결합하는 가중치를 변경하여 다양한 유형의 재질을 모델링할 수 있습니다. 임의의 비선형 재질을 모두 모델링할 수는 없지만, 약한 변형률 제약과 강한 변형률 제한 제약을 결합하여 일부 비선형 거동을 근사할 수 있습니다. 이 경우 재질은 작은 변형에 대해서는 부드럽지만, 변형이 한계에 도달하여 두 번째 제약이 활성화되면 더 뻣뻣해집니다. 이는 일반적인 비선형 재질 모델에서 나타나는 거동입니다. 서로 다른 이차 포텐셜(quadratic potentials)을 결합하는 방식은 Harmon/2009/Robust-Treatment-of-Simultaneous-Collisions에서 충돌 처리를 위해 사용된 적이 있으나, 본 프레임워크의 비선형 재질 모델링에도 매우 잘 부합합니다.

본 공식에서는 체적 메쉬의 예제 기반 시뮬레이션도 가능합니다. 이를 통해 물리 시뮬레이션에 대한 예술적 제어가 가능해집니다. Figure 8에서는 세 대의 자동차가 충돌 후 입력된 예제를 따라 만화 같은 방식으로 변형되는 모습을 보여줍니다. Martin/2011/Example-Based-Elastic-Materials와 유사하게, 자동차 표면은 체적 메쉬에 내장(embedded)되며, 이 메쉬는 본 솔버를 통해 변형됩니다.

본 접근 방식의 중요한 장점 중 하나는 수치적 안정성입니다. Figure 10에서 볼 수 있듯이, 본 솔버는 극단적인 힘 아래에서도 강건함을 유지합니다. 마찬가지로, 메쉬 요소가 퇴화(degenerate)되는 상황에서도 신뢰성을 유지합니다. 이는 두 평면 사이에서 압축되는 공의 시뮬레이션에서 확인할 수 있습니다. 본 방식의 유일한 요구 사항은 원래 매니폴드의 그래디언트 및 라플라스-벨트라미(Laplace-Beltrami) 연산자를 이산화하여 계산할 수 있도록 입력 모델의 메쉬 요소가 잘 구성되어 있어야 한다는 점뿐입니다.

본 논문은 Algorithm 1에 최적화 절차를 제시함으로써 접근 방식의 단순성을 설명합니다. 7행을 제거하고 5행의 $p_i$를 $q_{n+1}$로 변경하면 기존 PBD 알고리즘의 구조를 완전히 복구할 수 있습니다. 또한, 새로운 제약 조건을 도입할 때 로컬 솔브(local solve)에서 사용되는 제약 투영 정의와 적절한 이차 거리 척도(행렬 $A_i$ 및 $B_i$)만 정의하면 된다는 점에 주목하십시오.

본 연구의 솔버는 단일 프레임워크 내에서 옷감, 쉘, 고체 등 다양한 기하학적 제약 조건을 통합하여 처리할 수 있는 뛰어난 범용성을 가집니다. 이를 통해 복잡한 장면의 상호작용을 실시간으로 시뮬레이션할 수 있으며, 특히 예제 기반 방식을 통해 예술적인 변형 제어도 가능합니다.

우리의 솔버는 특정 유형의 제약 조건에 의존하지 않으며, 동일한 설정 내에서 다양한 기하학적 제약 조건을 처리할 수 있습니다. 이를 통해 단일 솔버로 복잡한 장면을 시뮬레이션하고 객체 간의 상호작용을 암시적(implicit) 방식으로 견고하게 처리할 수 있습니다. Figure 1에서는 객체들이 서로 결합된 다양한 제약 조건 유형을 가진 복잡한 장면을 보여줍니다. 예를 들어, 나무와 집은 체적 변형 제약 조건(volumetric strain constraints)으로 모델링된 반면, 빨랫줄, 옷감, 풀, 잎사귀는 에지 변형 및 굽힘 제약 조건을 사용합니다.

Figure 10에서는 해적 깃발의 거동을 모델링하기 위해 단순히 에지 변형 제약 조건을 사용했습니다. 바람의 힘은 풍향과 삼각형 법선의 함수로 추가됩니다. 바람이 너무 강하면 해적 깃발이 찢어지는데, 이는 변형률이 특정 임계값을 초과할 때 에지 제약을 제거함으로써 구현됩니다. Figure 6에서 볼 수 있듯이, 소량에서 중간 정도의 신축이 가능한 더 복잡한 옷감은 삼각형 변형 제한(strain limiting)과 굽힘 제약 조건을 결합하여 모델링할 수 있습니다. 변형 및 굽힘 제약 조건의 가중치를 변경함으로써 얇은 판이나 얇은 쉘과 같은 다른 유형의 재질도 시뮬레이션할 수 있습니다. Figure 9에서는 위에서 압축된 얇은 실린더가 변형 및 굽힘 제약 강성의 비율에 따라 서로 다른 좌굴(buckling) 패턴을 보이는 예를 확인할 수 있습니다.

우리는 사면체 메쉬(tetrahedral meshes)에 적용된 변형 및 부피 제약 조건의 조합을 사용하여 고체를 시뮬레이션합니다. Figure 7에 나타난 것처럼, 이러한 제약 조건들을 결합하는 가중치를 조절하여 다양한 유형의 재질을 모델링할 수 있습니다. 임의의 비선형 재질을 모두 모델링할 수는 없지만, 약한 변형 제약과 강한 변형 제한 제약을 결합하여 일부 비선형 거동을 근사할 수 있습니다. 이 경우 재질은 작은 변형에 대해서는 부드럽지만, 변형이 한계에 도달하여 두 번째 제약이 활성화되면 더 뻣뻣해집니다. 이러한 거동은 일반적으로 비선형 재질 모델에서 나타나는 특징입니다. 서로 다른 2차 포텐셜(quadratic potentials)을 결합하는 방식은 Harmon/2009/Collision-Handling에서 충돌 처리를 위해 사용된 적이 있으나, 우리의 프레임워크에서 비선형 재질 거동을 모델링하는 데에도 매우 적합합니다.

우리의 공식화에서는 체적 메쉬의 예제 기반 시뮬레이션도 가능하며, 이를 통해 물리 시뮬레이션에 대한 예술적 제어가 가능해집니다. Figure 8에서는 세 대의 자동차가 충돌 후 입력된 예제를 따라 만화 같은 방식으로 변형되는 모습을 보여줍니다. Martin/2011/Example-Based-Elastic-Materials와 유사하게, 자동차 표면은 체적 메쉬에 내장(embedded)되며, 이 메쉬는 우리의 솔버를 통해 변형됩니다.

제안된 방법은 극단적인 변형이나 메쉬 퇴화 상황에서도 수치적 안정성과 견고함을 유지하며, 알고리즘 구조가 단순하여 기존 PBD를 포함하면서도 새로운 제약 조건을 쉽게 확장할 수 있습니다.

본 접근 방식의 중요한 장점 중 하나는 수치적 안정성입니다. Figure 10에서 볼 수 있듯이, 극단적인 힘이 가해지는 상황에서도 우리 솔버는 견고함을 유지합니다. 마찬가지로, 메쉬 요소가 퇴화(degenerate)되는 상황에서도 우리 방법은 신뢰성을 유지합니다. 이는 두 평면 사이에서 압축되는 공의 시뮬레이션에서 확인할 수 있습니다. 우리 방식의 유일한 요구 사항은 원래 매니폴드의 그래디언트 및 라플라스-벨트라미(Laplace-Beltrami) 연산자의 이산화를 계산하기 위해 입력 모델의 메쉬 요소들이 잘 구성되어 있어야 한다는 점입니다.

우리는 Algorithm 1에 최적화 절차를 배치하여 우리 방식의 단순성을 보여줍니다. 7행을 제거하고 5행의 $p_i$를 $q_{n+1}$로 변경하면, 기존 PBD 알고리즘의 구조를 완전히 복원할 수 있습니다. 또한, 새로운 제약 조건을 도입할 때 로컬 솔브(local solve)에서 사용되는 제약 투영의 정의와 적절한 이차 거리 측정 행렬인 $A_i$와 $B_i$의 정의만 필요하다는 점에 주목하십시오.

본 논문의 프레임워크는 C++와 OpenMP를 통해 구현되었으며, 희소 촐레스키 분해를 활용한 병렬 처리를 통해 중간 규모 모델에서 반복당 1~6ms의 실시간 성능을 달성했습니다. 현재의 수치적 감쇠 한계를 극복하기 위해 향후 심플렉틱 적분기 도입 및 GPU 가속화를 계획하고 있습니다.

본 논문에서 제시된 전체 프레임워크는 C++로 구현되었습니다. OpenMP를 사용하여 로컬 단계(local step)를 병렬화하였으며, 선형 시스템을 희소 촐레스키 분해(sparse Cholesky factorization)로 사전 분해하고 세 번의 후방 대입(back-substitution)을 병렬로 수행하여 $x, y, z$ 좌표에 대한 글로벌 단계(global step)를 병렬로 해결합니다. 동적 제약 조건은 선형 시스템의 랭크 업데이트 및 다운데이트를 통해 처리됩니다. 밀집 및 희소 선형 대수를 위해 Eigen 라이브러리가 사용됩니다. 질량 행렬을 계산하기 위해 Hughes/2000/The Finite Element Method에 제시된 표준 심플리셜 질량 이산화 또는 그 럼프(lumped) 버전을 사용하며, 두 방식 사이에 눈에 띄는 차이는 없습니다.

타이밍: 제약 조건과 자유도(DoFs)가 3만 개 미만인 중간 규모 모델의 시뮬레이션에는 보통 5~10회의 반복으로 충분합니다. 반복당 1~6ms의 속도로, 이는 16GB 메모리와 2.7GHz 인텔 쿼드코어 i7을 탑재한 맥북 프로에서 실시간 시뮬레이션을 가능하게 합니다. 타이밍과 메시에 대한 통계는 첨부된 비디오에서 확인할 수 있습니다. 또한, 제공되는 애플리케이션은 여러 예제에서 성능을 보여줍니다.

우리의 임플리시트 오일러 솔버(implicit Euler solver)는 효율적이고 견고하지만, 수치적 감쇠(implicit damping) 현상이 나타납니다. 가까운 미래에 우리는 더 나은 에너지 거동을 제공하는 심플렉틱 적분기(symplectic integrators)로 접근 방식을 확장할 계획입니다. 최적화가 조기에 종료될 때도 감쇠가 관찰될 수 있는데, 이는 최적화가 충분히 반복되지 않으면 외력이 메시를 통해 완전히 전파되지 않을 수 있기 때문입니다. 이 효과는 수렴을 위해 더 많은 반복이 필요한 대형 메시에서 두드러집니다. 향후 연구로서, 우리는 코드의 GPU 버전을 구현하여 솔버의 속도를 향상시키고 위상 변화(topological changes)에 집중하고자 합니다.

제안된 임플리시트 오일러 솔버의 주요 한계인 수치적 감쇠 문제를 설명하고, 이를 해결하기 위한 심플렉틱 적분기 도입, GPU 가속, 토폴로지 변화 대응 등의 향후 연구 방향을 제시합니다.

본 논문에서 제안한 임플리시트 오일러(Implicit Euler) 솔버는 효율적이고 견고하지만, 수치적 감쇠(implicit damping) 현상이 나타납니다. 향후 연구에서는 더 나은 에너지 보존 특성을 제공하는 심플렉틱 적분기(symplectic integrators)로 본 접근 방식을 확장할 계획입니다.

최적화가 조기에 종료될 때도 감쇠 현상이 관찰될 수 있습니다. 이는 최적화 반복 횟수가 충분하지 않을 경우 외력이 메쉬 전체로 완전히 전달되지 못하기 때문입니다. 이러한 현상은 수렴을 위해 더 많은 반복 계산이 필요한 대규모 메쉬에서 더욱 두드러지게 나타납니다.

향후 과제로, 코드의 GPU 버전을 구현하여 솔버의 속도를 더욱 개선하고, 토폴로지 변화(topological changes)를 처리하는 연구에 집중하고자 합니다.