본 논문은 유한요소법(FEM)의 물리적 정확성과 위치 기반 역학(PBD)의 효율성을 결합한 새로운 암시적 시간 적분 솔버인 투영 역학(Projective Dynamics)을 제안합니다. 로컬-글로벌 최적화 방식을 통해 다양한 제약 조건을 실시간으로 견고하게 처리할 수 있는 범용적인 프레임워크를 구축하는 것이 핵심입니다.

우리는 물리 시스템의 암시적 시간 적분(implicit time integration)을 위한 새로운 방법을 제시합니다. 우리의 접근 방식은 노달 유한요소법(Finite Element methods)과 위치 기반 역학(Position Based Dynamics, PBD) 사이의 가교를 구축하여, 단순하고 효율적이며 견고하면서도 정확한 솔버를 만들어냅니다. 이 솔버는 다양한 유형의 제약 조건을 지원합니다. 우리는 교대 최적화(alternating optimization) 방식을 통해 효율적으로 해결할 수 있는 특수 설계된 에너지 포텐셜을 제안합니다. 연속체 역학(continuum mechanics)에서 영감을 얻어, 우리의 솔버에 효율적으로 통합될 수 있는 일련의 연속체 기반 포텐셜을 도출했습니다. 우리는 고체, 천, 쉘 시뮬레이션부터 예제 기반 시뮬레이션에 이르기까지 다양한 응용 분야에서 우리 방식의 범용성과 견고함을 입증합니다. 뉴턴 기반 솔버 및 위치 기반 역학 솔버와의 비교를 통해 우리 공식의 장점을 강조합니다.

변형 가능한 재질의 물리 기반 시뮬레이션은 컴퓨터 그래픽스의 여러 분야에서 필수적인 도구가 되었습니다. 가상 세계, 그리고 최근의 캐릭터 애니메이션은 근육, 지방, 머리카락, 의류 또는 식생을 시뮬레이션함으로써 시각적 경험을 크게 향상시키기 위해 정교한 시뮬레이션을 통합합니다. 이러한 모델은 종종 연속체 역학 공식의 유한요소 이산화에 기반하며, 이를 통해 복잡한 비선형 재질의 매우 정확한 시뮬레이션이 가능합니다.

사실성과 정확성 외에도 컴퓨터 그래픽스 응용 분야에서는 몇 가지 다른 기준도 중요합니다. 범용성(Generality)은 다양한 유형의 기하학적 구조(고체, 쉘, 로드), 다양한 재질 특성, 또는 고전적 물리 기반 시뮬레이션에 대한 예술적 제어가 가능한 확장 기능을 시뮬레이션할 수 있는 능력을 의미합니다. 견고함(Robustness)은 큰 변형, 퇴화된 기하학적 구조, 큰 시간 단계(time step)를 포함한 어려운 구성을 적절하게 처리할 수 있는 능력을 말합니다. 견고함은 컴퓨터 게임이나 의료 훈련 시뮬레이터와 같이 시뮬레이션을 다시 실행할 '두 번째 기회'가 없는 실시간 응용 분야에서 특히 중요합니다. 솔버의 단순성(Simplicity)은 실제적인 관련성 측면에서 종종 중요합니다. 단순하고 이해하기 쉬운 개념과 그에 따른 가벼운 코드베이스를 바탕으로 구축하면 시뮬레이터의 유지보수가 쉬워지고 특정 응용 분야의 요구에 맞게 조정할 수 있습니다. 성능(Performance)은 실시간 응용 분야를 가능하게 하는 결정적인 기준입니다. 그러나 성능은 새로운 장면과 시뮬레이션 매개변수를 테스트하는 데 걸리는 시간을 최소화해야 하는 오프라인 시뮬레이션에서도 그에 못지않게 중요합니다.

현재의 연속체 역학 접근 방식은 특정 컴퓨터 그래픽스 응용 분야에서 이러한 기준들 사이에 불리한 절충안을 갖는 경우가 많으며, 이는 위치 기반 역학(PBD)과 같은 대안적인 방법의 개발로 이어졌습니다. 범용성, 단순성, 견고함 및 효율성 덕분에 PBD는 현재 PhysX, Havok Cloth, Maya nCloth 및 Bullet을 포함한 광범위한 하이엔드 제품에 구현되어 있습니다. 주로 실시간 응용 분야에서 사용되지만, PBD는 오프라인 시뮬레이션에서도 종종 사용됩니다. 그러나 PBD의 이러한 바람직한 특성들은 정확도의 제한이라는 대가를 치르는데, 이는 PBD가 연속체 역학 원리에서 엄밀하게 유도되지 않았기 때문입니다.

우리는 연속체 역학(Continuum Mechanics)과 PBD 사이의 간극을 메우는 새로운 암시적 통합 솔버(implicit integration solver)를 제안합니다.

본 섹션은 정확하지만 느린 유한요소법(FEM)과 빠르지만 물리적 근거가 부족한 위치 기반 역학(PBD)의 장점을 결합한 새로운 '투영 역학(Projective Dynamics)' 프레임워크를 소개합니다. 핵심 아이디어는 에너지 포텐셜을 제약 조건 투영과 단순한 2차 거리 측정으로 분리하여, 실시간 수준의 속도와 물리적 견고함을 동시에 달성하는 것입니다.

변형 가능한 재질의 물리 기반 시뮬레이션은 컴퓨터 그래픽스의 다양한 분야에서 필수적인 도구가 되었습니다. 가상 세계와 최근의 캐릭터 애니메이션은 근육, 지방, 머리카락, 의류 또는 식생을 시뮬레이션함으로써 시각적 경험을 크게 향상시키기 위해 정교한 시뮬레이션을 통합합니다. 이러한 모델은 종종 연속체 역학 공식의 유한 요소 이산화(Finite Element Discretizations)를 기반으로 하며, 이를 통해 복잡한 비선형 재질을 매우 정확하게 시뮬레이션할 수 있습니다.

사실성과 정확성 외에도 컴퓨터 그래픽스 응용 프로그램에서는 몇 가지 다른 기준도 중요합니다. 범용성(Generality)은 다양한 유형의 기하학적 구조(고체, 쉘, 로드)나 재질 속성, 또는 예술적 제어가 가능한 확장을 시뮬레이션할 수 있는 능력을 의미합니다. 견고함(Robustness)은 큰 변형, 퇴화된 기하학적 구조, 큰 시간 단계(time step)를 포함한 어려운 구성을 적절하게 처리할 수 있는 능력을 말합니다. 견고함은 컴퓨터 게임이나 의료 훈련 시뮬레이터와 같이 시뮬레이션을 다시 실행할 '두 번째 기회'가 없는 실시간 응용 프로그램에서 특히 중요합니다. 솔버의 단순성(Simplicity)은 실제적인 관련성 측면에서 중요하며, 이해하기 쉬운 개념과 가벼운 코드베이스는 유지보수를 용이하게 하고 특정 요구에 맞게 조정할 수 있게 합니다. 성능(Performance)은 실시간 응용 프로그램을 가능하게 하는 핵심 기준일 뿐만 아니라, 새로운 장면과 파라미터를 테스트하는 시간을 최소화해야 하는 오프라인 시뮬레이션에서도 중요합니다.

현재의 연속체 역학 방식은 특정 그래픽스 응용 프로그램에서 이러한 기준들 사이에 불리한 트레이드오프를 갖는 경우가 많으며, 이는 위치 기반 역학(Position Based Dynamics, PBD)과 같은 대안적 방법의 개발로 이어졌습니다. 범용성, 단순성, 견고함 및 효율성 덕분에 PBD는 현재 PhysX, Havok Cloth, Maya nCloth, Bullet을 포함한 광범위한 하이엔드 제품에 구현되어 있습니다. 주로 실시간 응용 프로그램에서 사용되지만, PBD는 오프라인 시뮬레이션에서도 자주 사용됩니다. 그러나 PBD의 이러한 장점은 정확도의 제한이라는 대가를 치르는데, 이는 PBD가 연속체 역학 원리에서 엄밀하게 유도되지 않았기 때문입니다.

우리는 연속체 역학과 PBD 사이의 간극을 메우는 새로운 암시적 통합 솔버(Implicit Integration Solver)를 제안합니다. 핵심 아이디어는 특정 구조를 가진 에너지 포텐셜을 도입하는 것입니다. 더 정확하게는, 우리의 포텐셜은 제약 조건으로부터의 볼록 2차 거리 측정(Convex Quadratic Distance Measure)으로 구성됩니다. 제약 조건은 요소의 바람직한 상태를 표현하는 일반적인 비선형 함수입니다. 우리 솔버는 임의의 기하학적 제약 조건을 처리할 수 있지만, 연속적인 변형 에너지에서 유도된 특정 제약 조건 세트를 제안합니다. 이러한 연속체 기반 제약 조건은 서로 다른 해상도나 불균일한 테셀레이션을 가진 메쉬를 다룰 때 파라미터 튜닝을 상당히 단순화해주므로 매우 실용적입니다.

우리 제약 조건 기반 포텐셜의 주요 장점은 그 구조가 효율적인 로컬/글로벌 최적화(Local/Global Optimization), 즉 블록 좌표 하강법을 가능하게 한다는 것입니다. 구체적으로 로컬 단계(Local Step)는 모든 요소를 제약 매니폴드에 투영하는 과정으로, 요소당 작은 비선형 문제를 해결합니다. 글로벌 단계(Global Step)는 개별 투영 결과를 결합하여 모든 제약 조건 사이의 타협점을 찾는 동시에 관성 및 외력과 같은 전역적 효과를 고려합니다.

이 로컬/글로벌 접근 방식을 통해 우리는 매 반복마다 에너지를 약하게 감소시키는 것이 보장되는 암시적 통합 솔버를 구성할 수 있습니다. 이는 견고함을 보장하기 위해 라인 서치 전략이나 헤시안(Hessian)에 대한 안전장치가 필요한 고전적인 뉴턴 방법(Newton's Method)과 대조됩니다. 또한 제약 조건 세트가 고정되어 있으면 글로벌 단계의 선형 시스템을 미리 분해(Pre-factor)할 수 있어 계산 시간을 크게 줄일 수 있습니다. 로컬 단계는 독립적인 작은 최적화 문제들로 구성되어 모두 병렬로 실행될 수 있습니다.

우리가 알기로, 본 방법은 일반적인 동적 시스템 시뮬레이션에 로컬/글로벌 최적화를 적용한 첫 번째 사례입니다. 우리는 이 솔루션이 암시적 통합에 대해 견고하고 효율적인 접근 방식을 제공하며, 종종 고전적인 뉴턴 방법보다 훨씬 뛰어난 성능을 보임을 입증합니다. PBD와 우리 솔버 사이의 연결은 PBD가 전통적인 유한 요소법 및 뉴턴 역학 기반 접근 방식과 어떻게 관련되는지에 대한 새로운 통찰력을 제공합니다.

이 섹션은 연속체 역학 기반의 물리 시뮬레이션 역사와 기존 시간 적분법의 한계를 검토합니다. 특히 뉴턴 방법의 높은 계산 비용과 PBD의 수렴성 문제를 지적하며, 이를 해결하기 위해 로컬-글로벌 교대 최적화와 제약 조건 투영을 결합한 본 논문의 방법론적 배경을 제시합니다.

Terzopulous/1987/Elastically Deformable Models의 선구적인 연구 이후, 연속체 역학에서 유도된 모델들은 물리기반 애니메이션에서 중요한 역할을 해왔습니다. 기본 원리는 탄성 물체의 변형에 대한 저항을 탄성 포텐셜 에너지로 정량화하는 것이며, 이 스칼라 함수의 변분 도함수는 탄성력으로 이어집니다. 불행히도 탄성력은 기본적인 재료 모델에서도 대개 비선형적이며, 이는 결과적인 운동 방정식의 시간 적분을 복잡하게 만듭니다.

컴퓨터 그래픽스에서 사용되는 가장 단순한 시간 적분 스킴은 Explicit(명시적) 방법이지만, 이는 큰 타임 스텝에 매우 취약합니다. Implicit Euler(암시적 오일러) 방법은 강건성(robustness)을 크게 향상시키지만, 매 단계마다 비선형 연립 방정식을 풀어야 하는 비용이 발생합니다. Martin/2011/Example-Based Elastic Materials에서 보여주었듯이, 이는 힘 대신 탄성 포텐셜에 직접 작용하는 비볼록(non-convex) 최적화 문제로 동등하게 공식화될 수 있습니다. 암시적 오일러 적분의 주요 단점 중 하나는 인위적인 수치적 감쇠(numerical damping)입니다. 이는 더 나은 에너지 보존 특성을 가진 Symplectic 적분기나 혼합 암시적-명시적 방법(IMEX)의 개발을 촉진했습니다. 또 다른 접근법은 에너지 보존을 명시적으로 강제하는 에너지 버젯팅입니다. 그러나 암시적 오일러 적분은 강건성이 중요한 기준이고 수치적 감쇠가 큰 문제가 되지 않는 물리기반 애니메이션 응용 분야에서 여전히 인기 있는 선택지 중 하나입니다. 본 논문의 솔버는 암시적 오일러 적분의 변분 형태에서 유도되었는데, 이는 시스템에 또 다른 제약을 추가하는 것만으로 시간 적분을 생각할 수 있는 직관적인 방법을 제공하기 때문입니다. 이는 나아가 PBD(Position Based Dynamics)와 암시적 오일러 적분 스킴 사이의 연결 고리를 만들어주며, 큰 타임 스텝에서도 안정적인 강건하고 효율적인 접근법을 결과로 냅니다.

암시적 적분의 구체적인 형태나 공식화에 관계없이, 뉴턴 방법(Newton's method)은 비선형 방정식을 풀기 위한 계산의 주력 마차로 남아 있습니다. 그러나 이를 강건하게 구현하려면 보수적인 라인 서치 절차와 비한정(indefinite) 헤시안에 대한 안전장치가 필요합니다. 성능 관점에서 뉴턴 방법의 심각한 단점은 매 반복마다 헤시안 행렬과 그래디언트가 변한다는 사실입니다. 따라서 Quasi-Newton 방법은 근사 헤시안을 사용하여 선형 시스템 풀이 속도를 높이는 대신 하위 최적의 하강 방향(따라서 더 느린 수렴)을 택합니다. 이와 유사한 전략으로 Co-rotated 탄성 맥락에서 희소 촐레스키 분해의 업데이트를 신중하게 스케줄링하는 방법이 탐구되었습니다. 최근 Liu/2013/Fast Simulation of Mass-Spring Systems는 로컬/글로벌 교대 최적화를 가능하게 하는 보조 변수를 도입하여 질량-스프링 시스템의 효율적인 암시적 시간 적분 방법을 제시했습니다. 블록 좌표 하강법(block coordinate descent)으로도 알려진 이 접근법은 기하학적 처리 분야에서 큰 성공을 거두며 사용되어 왔습니다. 우리도 접근법에 로컬/글로벌 교대 방식을 채택하지만, 선형 스프링(후크의 법칙)으로 제한된 기존 연구와 달리, 제약 집합으로의 투영을 고안하여 일반적인 절점 동적 시스템을 시뮬레이션할 수 있도록 일반화합니다.

본 논문의 제약 기반 공식화는 제약 투영(constraint projection)에 기반한 최근의 비전통적 접근법들과 유사성을 가집니다. 제약 투영의 아이디어는 Nucleus 시스템과 PBD의 핵심입니다. 우리의 솔루션과 대조적으로, 이 방법들은 제약을 전역적으로 처리하지 않고 가우스-자이델(Gauss-Seidel) 방식으로 순차적으로 투영합니다. 이 방식은 구현이 매우 쉽지만 몇 가지 단점이 있습니다. 수렴이 빠르지 않고, 재질의 강성이 반복 횟수에 의존하며, 결과가 제약의 순회 순서에 영향을 받습니다. 반면, 본 논문의 방법은 제약을 사용하여 탄성 포텐셜을 공식화하고, 이를 뉴턴의 운동 법칙에 따라 관성 항과 엄밀하게 결합합니다. 우리 솔버는 먼저 모든 제약 투영을 독립적으로 계산한 다음 그들 사이의 최적의 타협점(compromise)을 찾으며, 이는 솔루션을 제약 순서로부터 독립적으로 만듭니다. 더 빠른 수렴을 위해 제약은 미분 좌표(differential coordinates)를 사용하여 표현되며, 이는 단 몇 번의 반복만으로 만족스러운 결과를 냅니다. 나아가 우리 솔버는 PBD가 완전히 비탄성적인 거동으로 수렴하는 것과 달리, 우리의 탄성 에너지와 함께 진정한 암시적 오일러 솔루션으로 수렴합니다.

또 다른 밀접한 개념은 Shape matching으로, 우리 방법과 달리 제약 투영을 포텐셜 대신 탄성력을 직접 구축하는 데 사용합니다. 제약 투영은 Strain limiting(변형 제한)에서도 독립적인 시뮬레이션 기술이 아니라 표준 시간 적분 방법으로 뻣뻣한 시스템을 더 잘 처리하기 위한 방편으로 사용되었습니다. 본 논문의 접근법에서도 변형 제한을 수행할 수 있으며, 이는 암시적 솔버에 직접 포함됩니다.

본 섹션에서는 복잡한 암시적 시간 적분 문제를 로컬 단계(제약 조건 투영)와 글로벌 단계(선형 시스템 풀이)로 분리하여 효율적으로 해결하는 투영 역학(Projective Dynamics) 솔버의 핵심 알고리즘을 제안합니다. 특히 글로벌 단계의 시스템 행렬이 상수로 유지되어 사전 분해를 통한 고속 계산이 가능하다는 점이 큰 장점입니다.

Equation 7에서 주어진 단순화된 포텐셜을 사용하여, Equation 4에 정의된 암시적 적분을 $q$와 보조 변수 $p_i$에 대한 최소화 문제로 재구성할 수 있습니다.

우리는 로컬/글로벌 교대 최소화(local/global alternating minimization) 기법을 사용하여 Equation 8을 해결합니다.

로컬 단계(Local solve): 먼저 정점 위치 $q$를 고정한 상태에서 보조 변수 $p_i$에 대해 최소화를 수행합니다. 각 제약 조건은 자신만의 보조 변수 $p_i$를 가지므로, 다음과 같이 각 제약 조건에 대해 독립적으로 최소화를 수행할 수 있습니다.

글로벌 단계(Global solve): 다음으로 보조 변수 $p_i$를 고정한 상태에서 위치 $q$에 대해 최소화를 수행합니다. Equation 8은 미지수 $q$에 대해 2차 형식이므로, 단 한 번의 선형 시스템 풀이로 최소화할 수 있습니다. 임계점에서 그래디언트가 0이 되어야 한다는 조건을 통해 다음 선형 시스템을 얻습니다.

이 최적화 과정은 에너지를 단조 감소시키므로 뉴턴 방법과 달리 별도의 안전장치(safeguards)가 필요하지 않습니다. Algorithm 1은 이 과정을 요약합니다. 먼저 관성 예측값 $s_n$으로 웜 스타트(warm start)를 하고, 로컬/글로벌 단계를 반복한 뒤 속도를 업데이트합니다.

행렬 A와 B의 선택: $A_i = B_i = I$로 선택하면 절대 좌표를 사용하게 되어 수렴 속도가 느려집니다. 대신 내부 물리 제약이 병진 불변성(translation invariant)을 가진다는 점을 이용해 $A_i, B_i$를 차분 좌표(differential coordinate) 행렬로 선택하면 수렴 속도를 크게 향상시킬 수 있습니다.

이 섹션에서는 일반적인 제약 조건에 대해 로컬/글로벌 공식과 위치 기반 역학(PBD) 사이의 정확한 관계를 도출합니다. 이 분석은 PBD가 우리 솔버와 밀접하게 연결되어 있음을 보여주는 동시에, 우리 접근 방식이 왜 더 높은 정확도를 제공하는지 설명합니다.

얇은 쉘과 판의 시뮬레이션을 위해 라플라스-벨트라미 연산자와 평균 곡률을 이용한 새로운 굽힘 에너지를 제안하며, 이를 효율적인 로컬/글로벌 최적화가 가능한 이산적 포텐셜 형태로 공식화했습니다.

얇은 쉘(thin shells)과 얇은 판(thin plates)은 일반적으로 에지를 가로지르는 이면각(dihedral angles)에 기반한 굽힘 에너지를 사용하여 시뮬레이션됩니다. 최근에는 라플라스-벨트라미 연산자(Laplace-Beltrami operator)를 평균 곡률 법선(mean curvature normal)과 연관시켜 늘어나지 않는 표면의 굽힘을 처리하는 효율적인 모델들이 제시되었습니다. 본 논문에서는 다음과 같이 절대 평균 곡률의 차이 제곱을 측정하는 굽힘 에너지를 도입합니다.

등척 변형(isometric deformation), 즉 늘어나지 않는 표면의 경우 보조 회전 행렬 $R$을 사용하여 에너지를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

여기서 $\Delta_S$는 매니폴드 표면 $S$에서 정의된 라플라스-벨트라미 연산자입니다. 이는 평균 곡률 벡터가 표면의 좌표 함수에 라플라스-벨트라미 연산자를 적용한 것과 같기 때문입니다. 등척 변형에서는 라플라스-벨트라미 연산자가 변하지 않으므로 변형되지 않은 초기 표면에서 정의될 수 있습니다. 수식 20이 그래디언트를 라플라스-벨트라미로 대체한 수식 15와 매우 유사함에 주목하십시오. 따라서 변형률 제한(strain limiting) 및 예제 기반(example-based) 개념을 굽힘 에너지에도 적용하는 것이 가능합니다.

$S$가 2차원 매니폴드 심플리셜 컴플렉스인 경우, 수식 20은 조각별 선형 햇 기저(piecewise linear hat basis)를 사용하여 이산화될 수 있으며, 다음과 같은 정점당 포텐셜로 유도됩니다.

여기서 $A$는 정점의 보로노이 면적이고, $X_f$와 $X_g$는 각각 현재 구성과 초기 구성에 대한 정점의 원링 에지(one-ring edges)를 포함합니다. 벡터 $c$는 보로노이 면적으로 나눈 공통 코탄젠트 가중치를 저장합니다. 이 굽힘 제약 조건은 변형된 구성의 평균 곡률 벡터를 단순히 정규화(normalization)하는 것만으로 구현될 수 있어 매우 효율적인 로컬 솔브가 가능합니다.

제안된 방법(PD)은 뉴턴 방법보다 수렴 차수는 낮지만 반복당 계산 비용이 훨씬 저렴하여 실시간 응용에 유리하며, PBD와 달리 반복 횟수나 메쉬 해상도에 관계없이 일관된 물리적 재질 특성을 유지합니다.

Figure 12에서는 뉴턴 방법과 로컬/글로벌 솔버의 성능을 비교합니다. 뉴턴 방법은 이차 수렴(quadratic convergence)을 보이는 반면, 로컬/글로벌 솔버는 선형 수렴(linear convergence)을 하므로 반복 횟수 면에서는 뉴턴 방법이 더 빠릅니다. 하지만 실제 계산 시간을 고려하면 우리 방식이 인터랙티브 응용 프로그램에서 더 빠릅니다. 뉴턴 방법 1회 반복할 시간에 로컬/글로벌 반복을 약 30회 수행할 수 있기 때문입니다. 이는 뉴턴 방법이 매 반복마다 헤시안(Hessian)을 다시 계산하고 새로운 선형 시스템을 풀어야 하기 때문입니다.

Figure 11에서 볼 수 있듯이, 약 10회의 반복만으로도 뉴턴 방법의 수렴 결과와 시각적으로 유사한 결과를 얻을 수 있습니다. 따라서 높은 정확도보다 실시간성이 중요한 응용 분야에서 우리 방식이 더 나은 선택입니다. 반면 뉴턴 방법은 매 단계마다 SVD를 미분해야 하고, 비한정(indefinite) 헤시안에 대한 안전장치와 라인 서치(line search) 과정이 필요하여 구현이 매우 복잡합니다.

PBD는 관성 제약(momentum constraints)을 포함하지 않기 때문에, Figure 4처럼 반복 횟수에 따라 재질의 강성이 변하는 문제가 발생합니다. 반면 제안된 방법은 반복 횟수에 관계없이 일관된 재질 강성을 유지합니다.

연속체 기반 제약 조건 덕분에, Figure 5와 같이 동일한 표면을 서로 다른 해상도의 메쉬로 표현하더라도 유사한 변형 거동을 유지합니다. 이는 PBD가 메쉬 해상도와 반복 횟수에 따라 재질 특성이 크게 달라지는 것과 대조되는 중요한 장점입니다.

본 프레임워크는 C++로 구현되었으며, OpenMP를 사용하여 로컬 단계를 병렬화했습니다. 글로벌 단계는 희소 촐레스키 분해(sparse Cholesky factorization)를 통해 시스템 행렬을 미리 분해(pre-factorization)하여 x, y, z 좌표를 병렬로 빠르게 해결합니다. 중간 규모 모델의 경우 반복당 1~6ms가 소요되어 실시간 시뮬레이션이 가능합니다.

본 논문의 프레임워크는 C++와 OpenMP를 이용해 구현되었으며, 희소 촐레스키 분해를 통해 글로벌 단계를 최적화하여 중소규모 모델에서 반복당 1~6ms의 실시간 성능을 달성했습니다.

본 논문에서 제시된 전체 프레임워크는 C++로 구현되었습니다. OpenMP를 사용하여 로컬 단계를 병렬화했으며, 희소 촐레스키 분해(sparse Cholesky factorization)를 통해 선형 시스템을 미리 분해(pre-factorizing)하고 $x$, $y$, $z$ 좌표에 대해 세 번의 후방 대입(back-substitution)을 병렬로 수행함으로써 글로벌 단계를 해결합니다. 동적 제약 조건은 선형 시스템의 랭크 업데이트 및 다운데이트를 통해 처리됩니다. 조밀 및 희소 선형 대수 계산에는 Eigen 라이브러리가 사용되었습니다. 질량 행렬을 계산할 때는 표준적인 심플렉스 질량 이산화 Hughes/2000/The-Finite-Element-Method 또는 그 集中(lumped) 버전을 사용했으며, 두 방식 사이에 눈에 띄는 차이는 없었습니다.

타이밍(Timing). 제약 조건 및 자유도(DoFs)가 3만 개 미만인 중형 모델의 시뮬레이션에는 보통 5~10회의 반복으로 충분합니다. 반복당 1~6ms의 속도를 통해, 2.7GHz 인텔 쿼드코어 i7과 16GB 메모리를 탑재한 맥북 프로에서 실시간 시뮬레이션이 가능합니다. 실행 시간 및 메쉬에 대한 통계는 첨부된 비디오에서 확인할 수 있습니다. 또한, 동봉된 애플리케이션은 다양한 예제에서의 성능을 보여줍니다.

본 섹션은 제안된 솔버의 한계점인 수치적 감쇠와 최적화 조기 종료 시 발생하는 힘 전달 지연 문제를 논의하며, 향후 심플렉틱 적분기 도입 및 GPU 가속을 통한 성능 개선 계획을 제시합니다.

내재적 오일러(implicit Euler) 솔버는 효율적이고 견고하지만, 수치적 감쇠(implicit damping) 현상이 나타납니다. 가까운 미래에 우리는 더 나은 에너지 보존 특성을 제공하는 심플렉틱 적분기(symplectic integrators)로 접근 방식을 확장할 계획입니다.

감쇠 현상은 최적화가 조기에 종료될 때도 관찰될 수 있습니다. 이는 최적화 반복 횟수가 충분하지 않을 경우 외력이 메쉬 전체로 완전히 전달(propagate)되지 못하기 때문입니다. 이러한 효과는 수렴을 위해 더 많은 반복 횟수가 요구되는 대규모 메쉬에서 더욱 두드러집니다.

향후 연구로서, 우리는 코드의 GPU 버전을 구현하여 솔버의 속도를 더욱 향상시키고 위상 변화(topological changes) 처리에 집중하고자 합니다.

피겨 1부터 피겨 12까지의 캡션으로, 투영 역학(Projective Dynamics) 프레임워크, 수학적 기초, PBD 및 뉴턴 방식과의 비교, 그리고 천, 체적 고체, 굽힘 쉘을 포함한 다양한 시뮬레이션 결과를 다룹니다.

Fig 1: 우리는 단일 물리 시뮬레이션 프레임워크에서 다양한 기하학적 제약 조건을 지원하는 새로운 투영 기반(projection-based) 암시적 오일러 통합기를 제안합니다. 이 예제에서는 건물, 풀, 나무, 옷을 포함한 모든 요소(49k 자유도, 43k 제약 조건)가 프레임당 10회 반복을 사용하여 반복당 3.1ms의 속도로 시뮬레이션됩니다.

Fig 2: 함수 Ψ(E(·))는 제로 레벨 세트로서 제약 매니폴드 E(·) = 0과 등치선으로 주어진 탄성 포텐셜을 모두 정의합니다. 매니폴드에 투영 변수 p를 도입함으로써, 거리 함수 d(q, p)로 모델링된 탄성 포텐셜로부터 매니폴드 정의를 분리할 수 있습니다.

Fig 3: 가우스-자이델(Gauss-Seidel) 대 야코비(Jacobi) 방식. PBD에서 사용되는 가우스-자이델 알고리즘은 현재 추정치를 각 제약 조건 집합(이 경우 Ci 및 Cj)에 순차적으로 투영합니다. 실행 가능한 해가 없는 경우 가우스-자이델 알고리즘은 서로 다른 제약 조건 사이에서 진동합니다. 반대로, 야코비 알고리즘은 현재 추정치를 각 제약 조건 집합에 병렬로 투영하고 두 번째 단계에서 합의에 도달하여 수렴을 가능하게 합니다.

Fig 4: 19,683개의 자유도와 19,360개의 에지 제약 조건이 있는 천의 경우, PBD는 타임 스텝에 허용된 시간 예산에 따라 서로 다른 재질 강성을 나타냅니다. 추가적인 운동량 항과 미분 좌표 공식 덕분에, 우리의 시뮬레이션은 반복 횟수가 달라도 일관되게 작동합니다.

Fig 5: 주어진 연속 표면에 대해, 서로 다른 해상도의 조각별 단순 근사치에 우리의 연속체 기반 제약 조건을 이산화하면 매우 유사한 질적 거동을 얻을 수 있습니다.

Fig 6: 동일한 메쉬에서 시작하여, 변형률 제한(strain limiting)을 통해 작거나 중간 정도의 신축을 겪을 수 있는 재질을 시뮬레이션할 수 있습니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 [-10%, +10%], [-20%, +20%], [-30%, +30%]의 변형률 제한을 사용했습니다. 제한이 증가함에 따라 천이 늘어나고 주름이 흡수되는 방식에 주목하십시오.

Fig 7: 부피 보존과 변형률 제약 조건의 다양한 가중치 조합을 통해 체적 물체에 대한 다양한 유형의 재질을 시뮬레이션할 수 있습니다.

Fig 8: 예제 기반 제약 조건을 사용하여 시뮬레이션에 변형 예제를 추가하면 복잡하고 예술적인 재질을 시뮬레이션할 수 있습니다. 이 장면에서 세 대의 자동차가 충돌하고 규정된 예제에 따라 만화처럼 반응합니다.

Fig 9: 왼쪽에서 오른쪽으로 굽힘 가중치를 증가시키며 얇은 쉘 원통을 시뮬레이션한 결과입니다. 원통이 압축될 때 서로 다른 주파수의 좌굴 패턴이 나타납니다.

Fig 9: 부록에서 볼 수 있듯이, 이 굽힘 제약 조건은 변형된 구성의 평균 곡률 벡터를 단순히 정규화하는 것으로 구현될 수 있어 매우 효율적인 로컬 솔브(local solve)가 가능합니다.

Fig 10: 극심한 바람의 힘 아래에서도 우리의 투영 암시적 솔버는 안정적으로 유지됩니다. 솔버는 매 반복마다 에너지를 약하게 감소시켜 별도의 안전장치가 필요하지 않습니다. 해적선 깃발은 제약 조건의 동적 업데이트를 사용하여 실시간으로 바람에 찢어집니다.

Fig 11: 7,161개의 자유도와 8,406개의 변형률 제약 조건이 있는 이 체적 하마 모델은 우리의 로컬-글로벌 솔버의 1회, 10회, 20회 반복으로 시뮬레이션되었습니다. 이미 10회 반복만으로도 우리의 접근 방식은 뉴턴 방식(Newton's method)으로 계산된 수렴해와 매우 유사해 보이며, 계산 비용은 훨씬 적습니다.

Fig 12: 반복 횟수에 따른 상대 오차의 감소를 비교해 보면, 뉴턴 방식이 우리의 로컬-글로벌 접근 방식보다 더 빠르게 수렴하는 것을 관찰할 수 있습니다. 그러나 계산 시간에 따른 상대 오차 감소를 보면, 우리의 접근 방식이 상대 오차 10의 -10승까지 더 나은 성능을 보여 대화형 애플리케이션에 특히 매력적입니다.