공간 도함수의 불연속성은 주름진 얇은 판부터 급격한 강성 변화를 보이는 재료에 이르기까지 광범위한 물리 시스템에서 나타납니다.

이러한 특징들을 정확하게 모델링하는 것은 시뮬레이션에 필수적이지만, 불연속성에 맞춰 리메싱(remeshing)을 요구하는 전통적인 메시 기반 방법으로는 여전히 어려운 과제입니다. 이는 기하학적 구조와 시뮬레이션을 얽히게 만들고, 다양한 형태의 패밀리에 대한 일반화를 저해합니다.

뉴럴 필드는 기저 함수를 공간에 대한 매끄럽고 연속적인 함수로 인코딩하여, 다양한 형태에 걸쳐 시뮬레이션을 가능하게 하는 매력적인 대안을 제시합니다.

하지만, 그 매끄러움 때문에 그래디언트 불연속성을 표현하는 데는 적합하지 않습니다.

이전 연구들은 함수 값의 불연속성을 다루었지만, 함수 연속성을 유지하면서 공간 도함수의 급격한 변화를 포착하는 것은 거의 주목받지 못했습니다.

저희는 네트워크 가중치에 불연속성의 위치를 고정시키지 않으면서 그래디언트 불연속성을 포착하는 뉴럴 필드 구조를 소개합니다.

리프팅 프레임워크 안에서 입력 좌표를 매끄럽게 클램핑된 거리 함수로 보강함으로써, 변화하는 인터페이스에서 그래디언트 점프를 인코딩할 수 있게 합니다.

이 설계는 이종 재료와 변화하는 주름을 가진 파라미터화된 형태 패밀리의 이산화에 구애받지 않는 시뮬레이션을 지원하며, 형태 모핑, 상호작용적인 주름 편집, 그리고 부드럽고 단단한 하이브리드 구조의 시뮬레이션과 같은 새로운 차수 축소 기능을 가능하게 합니다.

더 나아가, 저희 방법이 이전의 리프팅 기법들과 결합하여 그래디언트와 값의 불연속성을 모두 포착할 수 있음을 보여주며, 단일화된 모델 내에서 동시에 절단과 주름을 지원합니다.

차수 축소 모델링(ROM)은 Barbič/2005/ROM에서 설명한 바와 같이 고차원 동역학을 저차원 모달 부분 공간으로 근사하여 물리 시뮬레이션을 가속화합니다. 하지만 ROM이 주름진 재료의 접힌 부분이나 이종 고체 내의 경계면에서 발생하는 것과 같은 공간 도함수의 불연속성을 처리하는 것은 여전히 어려운 과제입니다. 이러한 급격한 전이는 국소적인 강성과 고주파 거동을 유발하는데, 전역 기저는 종종 이를 효과적으로 포착하지 못합니다.

메시 기반 시뮬레이터는 이산화를 불연속성 경계면에 정렬하여 이러한 거동을 포착하지만, 이는 기하학적 구조와 시뮬레이션을 긴밀하게 결합시킵니다. 형상 모핑, 재료 변화, 또는 주름 생성으로 인해 경계면이 진화함에 따라 메시를 다시 빌드해야 합니다. 이는 이전의 ROM 기저를 무효화하고 모델의 일반화 능력을 제한합니다.

몇 가지 전략들이 시뮬레이션을 메시 토폴로지로부터 분리하려고 시도합니다. 확장 유한 요소법(XFEM)은 Moës/1999/XFEM에서 제안되었으며, 고정된 메시에 불연속적인 기저 함수를 보강하여 리메싱 없이 경계면이 움직일 수 있도록 합니다. 하지만 XFEM은 여전히 고정된 배경 메시를 필요로 하고 일반적으로 전체 해상도에서 작동하므로, 차수 축소 모델링이나 형상군에 걸친 빠른 일반화에는 그 유용성이 제한됩니다.

신경망 표현법은 Chang/2023/Neural Fields, Modi/2024/Neural Fields에서 대안을 제공합니다: 기저 함수가 공간 좌표에 대한 연속적인 신경망 필드로 모델링되어 메시 이산화에 구애받지 않게 됩니다. 이는 파라미터화된 형상군에 걸쳐 부분 공간 시뮬레이션을 가능하게 합니다 Chang/2024/Shape Families. 그러나 그들의 매끄러움(smoothness)은 불연속성을 표현하는 데 부적합하게 만듭니다. 일부 접근법 Belhe/2023/Feature Alignment, Liu/2024/Differentiable Fields이 특징 정렬이나 미분 가능한 필드를 통해 알려진 불연속성 위치를 통합하려 시도하지만, 이들은 기하학적 가정을 네트워크 가중치에 내장하여 유연성을 감소시킵니다. 결과적으로, 인터페이스 레이아웃에 약간의 변경만 있어도 일반적으로 재훈련이 필요합니다.

최근에 Chang/2025/Winding Number는 함숫값의 불연속성을 모델링하기 위해 입력 좌표를 일반화된 와인딩 넘버 필드로 보강하여 효과적으로 도메인을 리프팅하는 방법을 제안했습니다. 이는 신경망 필드가 재사용 가능하고 일반화 가능한 방식으로 절단 현상을 처리할 수 있게 합니다. 저희는 유사한 리프팅 구성을 채택하지만, 다른 문제에 초점을 맞춥니다: 바로 그래디언트 불연속성을 모델링하는 것입니다—함수 자체는 연속성을 유지하면서 도함수가 급격히 변하는 경우입니다. 이러한 현상은 이종 재료 및 주름을 포함하는 시뮬레이션에서 자연스럽게 발생하며, 이전의 불연속성 처리 기술 Belhe/2023/Feature Alignment, Chang/2025/Winding Number, Liu/2024/Differentiable Fields에서는 다루어지지 않았습니다.

가중 라플라스 문제의 해에서 그래디언트 불연속성이 나타나는 것은 타원형 편미분방정식 이론에서 잘 정립되어 있습니다: 가중 라플라스 연산자의 고유 함수는 가중 함수가 급변하는 경계면을 가로질러 그래디언트 불연속성을 보일 수 있습니다 Gilbarg/2001/Elliptic PDEs. 그러나 이 현상은 차수 축소 모델링 및 신경망 필드 문헌에서는 여전히 제대로 평가받지 못하고 있습니다. 저희는 이 연결고리를 강조하고, 이를 저희의 구성에 대한 동기로 삼아 이러한 불연속성을 신경망 필드 표현에 명시적으로 인코딩합니다.

기여. 저희는 일반화 가능하고 시뮬레이션에 바로 사용할 수 있는 형태로 그래디언트 불연속성을 표현하기 위한 신경망 필드 구성을 소개합니다. 저희의 핵심 아이디어는 공간 좌표를 학습 불가능한 부드럽게 클램핑된 거리 함수로 보강하는 리프팅 전략을 통해 불연속성을 인코딩하는 것입니다. 이 접근법은 경계면 기하학을 네트워크 가중치에 내장하지 않고도 함수 그래디언트의 급격한 변화를 가능하게 하여, 동일한 신경망 표현이 여러 형상 및 재료군에 걸쳐 재사용될 수 있도록 합니다.

저희는 이 구성을 차수 축소 시뮬레이션에 적용하여, 이전에는 이 환경에서 시연되지 않았던 응용들을 가능하게 합니다. 저희 방법은 내부 경계면의 미분 가능한 모델링을 지원하여, 동적인 형상 및 재료 변화 하에서의 역설계 및 실시간 시뮬레이션을 허용합니다. 또한 주름의 상호작용적 편집과 함숫값 및 도함수 모두에서의 불연속성에 대한 하이브리드 모델링을 가능하게 합니다.

요약하자면, 저희는 다음을 제시합니다:

• 입력 리프팅을 통해 공간적 그래디언트 불연속성을 인코딩하는 신경망 필드 아키텍처;

• 형상 및 재료 공간에 걸쳐 일반화되는 이산화에 무관한 기저;

그리고 다음을 지원하는 최초의 차수 축소 시뮬레이션 방법:

• 결합된 절단과 접힘,

• 진화하는 주름, 그리고

• 파라미터화된 인터페이스를 가진 이종 재료.

물리 시뮬레이션에서 그래디언트 불연속성은 일반적으로 기저 인터페이스에 메쉬 이산화를 정렬하여 처리됩니다.

이는 메쉬가 강성 경계에 맞춰지는 이종 재료 모델링(Kim/2022/StiffnessBoundaries)과 접힘 패턴이 메쉬 토폴로지에 내장되는 주름 시뮬레이션(Choi/2004/CreaseSimulation, Narain/2013/CreaseSimulation, Zhu/2021/CreaseSimulation)에서 표준적인 접근 방식입니다.

하지만 이러한 메쉬 의존적인 방법들은 일반적으로 단일 정지 형상에 대한 고정된 불연속 구성으로 제한됩니다.

정지 형상이나 불연속성의 위치가 변경되면 리메싱이 필요해집니다.

이 과정은 시스템의 헤시안 구조를 변경하여 일관된 기저 유지를 방해하고, 결과적으로 차수 축소 시뮬레이션을 저해합니다.

확장 유한 요소법(XFEM)(Kaufmann/2009/XFEM, Moës/1999/XFEM, Ton-That/2024/XFEM)은 그래디언트를 포함한 국소적 불연속성을 포착하는 기저 함수로 고정된 메쉬를 보강하여 리메싱을 피합니다.

XFEM은 일반적으로 전체 해상도로 구현되므로, 실시간 또는 형상 가변 차수 축소 시뮬레이션에는 덜 적합합니다.

XFEM과 마찬가지로, 우리도 그래디언트 불연속성 표현을 목표로 하지만, 고정된 배경 메쉬에 의존하지 않습니다.

기하학을 시뮬레이션 자유도와 완전히 분리함으로써, 우리는 다양한 정지 도메인을 가진 형상 패밀리로 일반화하고(Fig. 15 참조), 차수 축소 모델링을 지원합니다.

우리 방법의 핵심은 그래디언트 불연속성을 모델링하기 위해 신경장을 사용하는 것입니다.

이전의 신경망 접근법들, 예를 들어 Belhe/2023/FeatureFields 등은 불연속 인터페이스에 정렬된 삼각형 메쉬 위에 특징 필드를 정의했으며, 후속 연구에서 미분 가능성을 도입했습니다(Liu/2024/Differentiability).

메쉬에 정렬된 특징을 학습하는 대신, Chang/2025/LiftingForCuts은 점진적 절단 시뮬레이션을 위한 불연속성을 모델링하기 위해 일반화된 와인딩 넘버 필드를 통해 입력 좌표를 리프팅하는 방법을 제안했습니다.

이러한 노력들은 주로 함수 값의 불연속성을 모델링하는 데 중점을 둡니다.

반면, 우리 연구는 다른 도전 과제를 목표로 합니다: 함수는 연속적이지만 불연속적인 그래디언트를 보이는 함수를 모델링하는 것인데, 이는 이종 재료와 주름과 같은 날카로운 특징을 시뮬레이션하는 데 필수적인 기능입니다.

물리 시뮬레이션에서, 그래디언트 불연속성은 일반적으로 메시 이산화를 기저의 인터페이스에 정렬하여 처리됩니다. 이는 메시가 강성 경계에 맞춰지는 이종 재료 모델링(Kim and Eberle/2022)과 접힘 패턴이 메시 토폴로지에 내장되는 주름 시뮬레이션(Choi et al./2004, Narain et al./2013, Zhu and Filipov/2021)에서 표준적인 접근 방식입니다. 하지만, 이러한 메시 의존적인 방법들은 일반적으로 단일 정지 형상에 대한 고정된 불연속성 구성에 제한됩니다. 정지 형상이나 불연속성의 위치가 변경되면, 리메싱이 필요해집니다. 이 과정은 시스템의 헤시안 구조를 변경하여, 일관된 기저 유지를 방해하고 결과적으로 차수 축소 시뮬레이션을 저해합니다.

확장 유한 요소법(XFEM)(Kaufmann et al./2009, Moës et al./1999, Ton-That et al./2024)은 고정된 메시에 그래디언트를 포함한 국소적 불연속성을 포착하는 기저 함수를 보강하여 리메싱을 피합니다. XFEM은 일반적으로 전체 해상도로 구현되어, 실시간 또는 형상 변화 차수 축소 시뮬레이션에는 덜 적합합니다. XFEM과 마찬가지로, 우리도 그래디언트 불연속성 표현을 목표로 하지만, 고정된 배경 메시에 의존하지 않습니다. 기하학을 시뮬레이션 자유도에서 완전히 분리함으로써, 우리는 다양한 정지 도메인을 가진 형상 패밀리로 일반화하고(Fig. 15 참조), 차수 축소 모델링을 지원합니다.

우리 방법의 핵심은 그래디언트 불연속성을 모델링하기 위해 신경장(neural fields)을 사용하는 것입니다. Belhe et al./2023과 같은 이전의 신경망 접근 방식들은 불연속성 인터페이스에 정렬된 삼각형 메시 위에 특징 필드를 정의했으며, 후속 연구에서는 미분 가능성을 도입했습니다(Liu et al./2024). 메시 정렬 특징을 학습하는 대신, Chang et al./2025는 점진적 절단 시뮬레이션을 위한 불연속성을 모델링하기 위해 일반화된 와인딩 넘버 필드를 통해 입력 좌표를 리프팅하는 방법을 제안했습니다. 이러한 노력들은 주로 함수 값의 불연속성을 모델링하는 데 중점을 두었습니다. 대조적으로, 우리 연구는 다른 과제를 목표로 합니다: 함수 자체는 연속적이지만 불연속적인 그래디언트를 나타내는 함수를 모델링하는 것인데, 이는 이종 재료와 주름과 같은 날카로운 특징을 시뮬레이션하는 데 필수적인 기능입니다.

이종 탄성 동역학은 강성(stiffness)과 같이 공간적으로 변화하는 속성을 가진 탄성 재료의 시뮬레이션을 의미합니다.

일반적인 전략은 전체 공간 유한 요소 시뮬레이션을 수행하는 것인데, 이는 종종 계산 집약적입니다.

효율성을 높이기 위해, 이전 연구들은 자유도를 줄이기 위해 메쉬 조밀화(mesh coarsening) (Chen/2017/Mesh Coarsening) 및 재메싱(remeshing) (Chen/2015/Remeshing, Chen/2018/Remeshing; Kharevych/2009/Remeshing)과 같은 공간적 단순화 기법들을 탐구해왔습니다.

대안으로, Trusty/2022/Mixed Discretization는 메쉬를 수정하지 않고 솔버의 수렴을 개선하는 혼합 이산화 기법을 도입했습니다.

이러한 방법들은 단일 형상에 대한 전체 공간 시뮬레이션을 최적화하는 데 중점을 두는 반면, 우리의 접근 방식은 축소 시뮬레이션을 가능하게 하고 형상 군(families of shapes)에 걸쳐 일반화됩니다.

또 다른 연구 흐름은 동역학 시스템 자체의 차원을 줄여 시뮬레이션을 가속화하는 것을 목표로 합니다.

축소 공간 기법(Barbič/2005/ROM; Benchekroun/2023/Skinning Eigenmodes; Pentland/1989/Modal Analysis; Trusty/2023/Skinning Eigenmodes)은 시각적으로 정확한 움직임을 유지하면서 중복되는 자유도를 제거하기 위해 선형 부분 공간을 구성합니다.

우리의 방법은 형상과 재료 공간 모두에 걸쳐 확장되는 축소 공간 시뮬레이션의 일반화로 볼 수 있습니다.

Mukherjee/2016/Incremental Modal Analysis는 점진적 선형 모달 분석을 통해 기저(basis)를 업데이트하는 접근법을 제안했습니다.

그러나 행렬 기반 공식 때문에, 그들의 방법이 메쉬 해상도나 정점 수의 변화를 어떻게 처리하는지는 불분명합니다.

대조적으로, 우리 모델은 다른 수의 정점을 포함하여 다양한 이산화에 걸쳐 작동하도록 설계되었습니다.

최근 몇 년간, 신경망은 물리 시뮬레이션을 가속화하는 강력한 도구가 되었습니다. 신경망은 유체 모델링 및 재구성(Chu et al. 2022; Deng et al. 2023; Jain et al. 2024; Kim et al. 2019; Tao et al. 2024; Wang et al. 2024), 충돌 처리(Cai et al. 2022; Romero et al. 2021; Yang et al. 2020), 그리고 천 시뮬레이션(Bertiche et al. 2022; Kairanda et al. 2024; Zhang and Li 2024)을 포함한 광범위한 영역에 적용되어 왔습니다.

저희의 연구는 신경망을 적용하여 축소 공간에서 변형 시뮬레이션을 가속화하는 접근 방식과 더 밀접하게 관련되어 있습니다. 예를 들어, Holden et al. [2019]는 축소된 좌표계에서 직접 비선형 동역학을 학습합니다. 대조적으로, 저희는 물리적 공식을 보존하고 공간적 변화를 학습하는 데 중점을 둡니다. Fulton et al. [2019]는 변형 거동을 더 잘 포착하기 위해 학습된 비선형 기저를 도입했으며, 이후의 확장 연구들은 표현력과 일반화 성능을 향상시켰습니다(Lyu et al. 2024; Sharp et al. 2023; Shen et al. 2021). 저희의 접근 방식은 선형 기저를 사용하지만, 일반적으로 단일 형상에 국한되었던 이전 방법들의 범위를 넘어 형상과 이산화에 걸쳐 일반화되도록 설계되었습니다.

이산화에 무관한 시뮬레이션을 지원하기 위해, 신경장은 공간 표현으로서 인기를 얻었습니다(Chang et al. 2024, 2023; Chen et al. 2023a; Modi et al. 2024). 하지만, 신경장의 연속적인 특성은 불연속성을 모델링하기 어렵게 만듭니다. 다양한 유형의 불연속성에 걸쳐 학습된 가중치를 일반화하는 문제는 거의 연구되지 않았습니다. Chang et al. [2025]는 신경장에서 리프팅된 좌표를 사용하여 절단 계열을 표현하는 방법을 제안함으로써 이 문제를 해결합니다. 그 연구처럼, 저희의 방법 또한 입력 리프팅을 사용하여 연속적인 신경장 내의 불연속성을 다룹니다. 하지만, 그들이 함수 값 불연속성(예: 절단 시뮬레이션)에 초점을 맞춘 반면, 저희는 이종 재료나 날카로운 주름과 관련된 시뮬레이션에서처럼 함수는 연속적이지만 그 기울기는 불연속적인 경우를 다룹니다.

우리의 목표는 그래디언트 불연속성을 정확하게 포착할 수 있는 뉴럴 필드를 구축하는 것입니다. 함수 $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$가 정의역 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d$는 2 또는 3)에 대해 정의된다고 가정합시다. 우리는 $f$의 법선 그래디언트가 내부 인터페이스 $\Gamma$에서 불연속적인 경우를 고려합니다:

이때 $n$은 인터페이스에 대한 법선 벡터를 나타냅니다.

리프팅을 통한 그래디언트 불연속성 모델링. 우리는 Chang/2025/Lifting for Cuts의 연구와 유사한 리프팅(lifting) 접근법을 채택합니다. 그들은 모든 곳에서 매끄러운 필드 $\tilde{f}: \Omega \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$를 적절히 선택된 "높이" 함수 $H: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$의 그래프로 제한하여 비매끄러운 필드 $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$를 구성합니다. 우리는 높이 함수의 선택에서 이전 연구와 차별화됩니다.

Chang/2025/Lifting for Cuts는 $H$의 그래프를 통해 각 점 $\boldsymbol{x} \in \Omega$를 점 $L(\boldsymbol{x}) \in \Omega \times \mathbb{R}$로 리프팅합니다.

그런 다음 $L$을 통해 매끄러운 필드 $\tilde{f}$를 원래 도메인으로 다시 제한하여 $f$를 얻습니다:

$\tilde{f}$의 정의역 $\Omega \times \mathbb{R}$는 새로운 "리프팅" 차원을 따라 정의역 $\Omega$를 돌출시켜 정의됩니다. $\tilde{f}(\boldsymbol{x})$는 가중치 $\theta$로 매개변수화된 뉴럴 필드로 이산화되며, 이를 $\tilde{f}_\theta$로 표기합니다.

이를 통해 Chang/2025/Lifting for Cuts는 리프팅된 도메인에서 대상 함수를 매끄럽게 표현함으로써 불연속성을 직접 학습해야 하는 어려움을 회피하며, 이는 뉴럴 표현의 내재적인 평활성 사전(smoothness prior)과도 부합합니다. 우리 연구는 높이 함수 $H(\boldsymbol{x})$의 설계에서 차별화됩니다. 우리는 값은 연속이지만 인터페이스 $\Gamma$에서 그래디언트는 불연속적인 $C^0$ 함수를 찾습니다. 중요하게도, $H$는 닫힌 형식(closed form)으로 주어지며 학습 가능한 매개변수를 포함하지 않습니다.

$H(\boldsymbol{x})$의 선택. 우리는 함수 값 불연속성에 대한 이전 연구(Chang/2025/Lifting for Cuts)와는 다른 새로운 리프팅 전략을 소개합니다. 우리의 목표는 연속적인 함수이면서 불연속적인 그래디언트를 갖는 함수를 표현하는 것이며, 이는 재료 인터페이스와 주름을 포착하는 데 매우 중요합니다. 우리는 닫힌 형식으로 주어지고 학습된 매개변수가 필요 없는 새로운 리프팅 함수 $H(\boldsymbol{x})$를 정의합니다. 이 함수는 인터페이스 기하 구조로부터 명시적으로 구성되며 인터페이스 법선 방향과 정렬된 그래디언트 불연속성을 생성하도록 설계되었습니다. 우리는 입력 좌표에서 인터페이스까지의 부호 없는 거리(unsigned distance)를 계산하는 것부터 시작합니다:

$D(\boldsymbol{x}) = \min_{\boldsymbol{p} \in \Gamma} \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}\|_2$,

여기서 $\boldsymbol{p} \in \mathbb{R}^d$는 인터페이스 위의 점입니다. 이산화 후, 인터페이스 $\Gamma$는 명시적 메시 $M = \{V, E\}$로 표현됩니다. 주어진 점에 대해, 이 메시 위의 가장 가까운 점까지의 최단 거리를 계산합니다. 이산 인터페이스 $M$까지의 거리 함수를 $D_M$으로 표기합니다.

부호 없는 거리 필드는 절댓값과 유사한 특성으로 인해 메시 전체에 걸쳐 그래디언트 불연속성을 보입니다. 이것이 언뜻 보기에는 충분해 보일 수 있지만, 이 공식에는 상당한 한계가 있습니다. 첫째, 부호 없는 거리 필드 계산은 본질적으로 전역적입니다. 인터페이스에서 멀리 떨어진 쿼리 지점 $\boldsymbol{x}$에 대해서도 계산에 많은 프리미티브를 순회해야 할 수 있어 불필요한 오버헤드를 유발합니다. 둘째, 부호 없는 거리 필드는 내측 축(medial axis) 근처에서 특이점(singularity)을 생성하는 것으로 알려져 있습니다. 비록 이전 연구(Madan/2022/Softmin Distance)에서 프리미티브에 걸쳐 소프트민(softmin)을 적용하여 이 문제를 해결하려 했지만, 그 결과 공식은 여전히 전역적입니다.

우리가 거리 필드에서 얻고자 하는 핵심 속성은 그래디언트 불연속성이 발생하는 인터페이스 근처에서의 절댓값과 같은 거동이므로, 인터페이스에서 멀리 떨어진 곳의 정확한 거리 값을 계산할 필요는 없습니다. 해당 영역에서는 필드가 매끄럽게 유지되기만 하면 충분합니다. 이를 위해 우리는 매끄럽게 잘린 거리 필드(smoothly clipped distance field)를 채택하여, 인터페이스 근처의 불연속성은 보존하면서 계산을 지정된 임계값 내로 지역화합니다. 이 공식은 또한 임계 영역을 벗어난 그래디언트를 0으로 만들어 내측 축으로 인해 발생하는 특이점을 완화하는 데 도움이 됩니다.

Fig. 3에서 볼 수 있듯이, 최종 높이 함수는 거리 함수를 매끄럽게 클램핑하여 구성됩니다:

$H(\boldsymbol{x}) = \|D_M(\boldsymbol{x})\|_{SC}$

여기서 $\|\cdot\|_{SC}$는 매끄러운 클램핑 함수(Chen/2023b/Smooth Clamping)입니다:

이 공식은 고정된 임계값 $s$ 내의 거리만 계산하면 된다는 장점이 있어, 공간 해싱과 같은 가속 구조에 매우 적합합니다. Fig. 4에서 볼 수 있듯이, 해싱을 사용하지 않을 때보다 쿼리 중 메모리를 4.1배 적게 필요로 하며, 동일한 수의 포인트를 쿼리할 때 3.6배의 속도 향상을 달성합니다. 우리는 다양한 $s$ 값(Fig. 7)에 대해 그래디언트 노름 오차를 계산했으며, 설정 전반에 걸쳐 큰 변화는 관찰되지 않았습니다.

참조 도메인 $\Omega \subset R^d$ 상의 탄성체를 고려해 봅시다. 이 탄성체의 변형은 변위장 $\mathbf{u}(\mathbf{x})$로 기술됩니다. 축소 공간 시뮬레이션과 스키닝 고유 모드 부분 공간 Benchekroun/2023/Skinning Eigenmodes, Trusty/2023/Geometric Subspace에서는, 이 필드를 저차원 좌표 $\mathbf{z} \in R^k$와 기저 함수 $\boldsymbol{\phi}_j$를 사용하여 근사합니다:

여기서 $\mathbf{z}_j \in R^{d \times (d+1)}$이고 $\boldsymbol{\phi}_j: \Omega \rightarrow R$입니다. 신경망 기반 축소 모델에 대한 최근 연구 Chang/2023/Neural Modal, Modi/2024/Neural Green's를 따라, 우리는 기저 함수를 뉴럴 필드 $\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x})$를 사용하여 표현합니다. 변화하는 형상이나 재료 속성을 지원하기 위해, 우리는 어떤 파라미터 $\alpha$에 대해 조건화합니다(즉, $\boldsymbol{\phi}_\alpha$). 이 파라미터는 형상(예: 모양, 재료 경계면) 또는 시나리오(예: 재료 강성, 경계 조건)의 (수작업으로 만들거나 학습된) 파라미터화에 해당합니다.

각 시간 스텝 $t$에서, 축소 좌표 $\mathbf{z}_{t+1}$은 다음을 최소화하여 업데이트됩니다:

여기서 $h$는 시간 스텝 크기입니다. 첫 번째 항은 관성을 모델링하고, 두 번째 항은 탄성 에너지입니다. 우리는 $\Psi$를 평가하기 위해 St. Venant–Kirchhoff 모델을 사용하기로 선택했지만, 원칙적으로 어떤 초탄성 모델도 대체될 수 있습니다.

에너지 $\Psi$는 자동 미분을 통해 계산되는 공간 그래디언트 $\partial\boldsymbol{\phi}_\alpha/\partial\mathbf{x}$에 의존합니다. 변형 그래디언트 $F$는 기저 그래디언트와 축소 좌표의 선형 결합으로 형성됩니다. 우리는 균일 샘플링을 이용한 확률적 구적법을 사용하여 적분을 근사하고 경사 하강법을 사용하여 최적화합니다.

참조 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 상의 탄성체를 고려하며, 이 탄성체의 변형은 변위장 $\mathbf{u}(\mathbf{x})$으로 기술됩니다. 축소 공간 시뮬레이션에서 스키닝 고유 모드 부분 공간을 이용하는 경우(Benchekroun/2023/SkinningEigenmodes, Trusty/2023/SkinningEigenmodes), 이 필드는 저차원 좌표 $\mathbf{z} \in \mathbb{R}^k$와 기저 함수 $\boldsymbol{\phi}_j$를 사용하여 다음과 같이 근사됩니다:

여기서 $\mathbf{z}_j \in \mathbb{R}^{d \times (d+1)}$이고 $\boldsymbol{\phi}_j: \Omega \to \mathbb{R}$입니다. 신경망 축소 모델에 대한 최근 연구들(Chang/2023/NeuralReducedModels, Modi/2024/NeuralReducedModels)을 따라, 우리는 기저 함수를 신경장 $\boldsymbol{\phi}(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x})$를 사용하여 표현합니다. 다양한 형상이나 재료 속성을 지원하기 위해, 우리는 어떤 파라미터 $\alpha$에 조건을 부여합니다(즉, $\boldsymbol{\phi}_\alpha$). 이 파라미터는 형상(예: 모양, 재료 경계면)이나 시나리오(예: 재료 강성, 경계 조건)의 (수동으로 만들거나 학습된) 매개변수화에 해당합니다.

각 타임 스텝 $t$에서, 축소 좌표 $\mathbf{z}_{t+1}$은 다음을 최소화하여 업데이트됩니다.

여기서 $h$는 타임 스텝 크기입니다. 첫 번째 항은 관성을 모델링하고, 두 번째 항은 탄성 에너지입니다. 우리는 $\Psi$를 평가하기 위해 St. Venant–Kirchhoff 모델을 사용하기로 선택했지만, 원칙적으로 어떤 초탄성 모델도 대체될 수 있습니다.

에너지 $\Psi$는 공간 그래디언트 $\partial\boldsymbol{\phi}_\alpha/\partial\mathbf{x}$에 의존하며, 이는 자동 미분을 통해 계산됩니다. 변형 그래디언트 $F$는 기저 그래디언트와 축소 좌표의 선형 결합으로 형성됩니다. 우리는 균등 샘플링을 이용한 확률적 구적법(stochastic cubature)으로 적분을 근사하고, 경사 하강법을 사용하여 최적화합니다.

앞서 언급했듯이, 우리는 형상군과 다양한 재료 특성에 적응하는 축소 모델을 훈련합니다. 이러한 변화를 포착하기 위해, 우리는 형상과 강성 정보를 인코딩하는 매개변수 $𝛼$를 도입합니다.

$𝛼$가 변화하는 인터페이스를 가진 다양한 형상을 나타낼 때, 도메인 $Ω_𝛼$, 인터페이스 $Γ_𝛼$, 그리고 그것의 명시적 표현 $M_𝛼$는 모두 $𝛼$에 의존합니다. 우리의 구현에서는 $M_𝛼$를 불연속 인터페이스와 정렬되는 비선형, 사용자 정의 함수로 취급합니다. 따라서, 높이 필드는 $𝛼$의 함수가 됩니다: $H_𝛼(𝒙) = \|D_{M_𝛼}(𝒙)\|_{SC}$

$𝛼$가 형상과 재료 변화를 제어함에 따라, 네트워크 가중치 또한 도메인의 결과적인 변화에 적응하기 위해 $𝛼$에 조건화됩니다. 따라서, 매개변수 조건화된 신경장은 다음과 같이 정의됩니다: $f_𝛼(𝒙) = \tilde{f}_𝛼^\theta(L_𝛼(𝒙))$ 그리고 $L_𝛼(𝒙) = (𝒙, H_𝛼(𝒙))$.

우리는 축소 공간 시뮬레이션을 위한 기저 함수를 신경장을 사용하여 매개변수화하며, 이를 $\boldsymbol{\phi}_𝛼(𝒙) = f_𝛼(𝒙)$로 표기합니다. 기저를 훈련시키기 위해, 우리는 각 에포크에서 도메인 $Ω_𝛼$를 나타내는 매개변수 $𝛼$를 균일하게 샘플링한 다음, 공간 샘플 $𝒙 \in Ω_𝛼$를 균일하게 추출합니다. 신경망 가중치 $𝜃$는 이 샘플들에 대해 평가된 손실 함수를 최소화함으로써 최적화됩니다: $L = E[\boldsymbol{\phi}_𝛼^\theta]$. $E[\boldsymbol{\phi}]$의 정확한 공식은 응용 분야에 따라 달라지며, 섹션 4.3과 4.4에서 자세히 논의될 것입니다.

우리의 방법은 이종 재료에 대한 기저 함수를 이산화에 무관한 방식으로 계산하는 데 적용될 수 있습니다.

우리의 방법은 이종 재료에 대한 기저 함수를 이산화에 구애받지 않는 방식으로 계산하는 데 적용될 수 있습니다.

스키닝 고유 모드 부분 공간에 대한 기저 함수 $𝝓$를 구성하기 위해, 우리는 탄성 에너지 라플라시안과 관련된 일반화된 고유값 문제를 풉니다. 공회전 탄성의 경우, 이는 공간적으로 변화하는 재료 강성에 의해 가중된 라플라시안 연산자에 해당합니다 [Benchekroun/2023/Skinning Eigenmode].

우리는 공간적으로 변화하는 가중 함수 $𝑤(𝒙)$를 도입하여 Chang/2024/Neural Reduced Models의 방법을 이종 재료로 확장합니다. 그들의 변분 공식을 따라, 고유값 문제는 가중 디리클레 에너지를 최소화하는 것으로 표현됩니다:

이때 단위 노름 제약 조건 $𝝓_{𝑖} \in U$를 따르며, 여기서 $U = \{𝑓 \in 𝐿^2(\Omega) | |𝑓|^2 = 1\}$이고, 직교성 조건 $𝝓_{𝑖} \in \text{span}\{𝝓_1, . . . , 𝝓_{𝑖−1}\}^\perp$을 따릅니다. 직교성 조건은 그람-슈미트 직교화를 통해 강제됩니다. 후보 함수 $𝜙_{𝑖}$가 주어지면, 이전 기저 $\{𝜙_1, . . . ,𝜙_{𝑖−1}\}$의 스팬에 있는 성분을 투영하여 제거한 다음, 그 결과를 정규화하여 $𝜙_{𝑖}$를 얻습니다. 그들의 방법은 균일한 설정만 다루기 때문에, 신경망 필드의 부드러움으로 인해 급격한 재료 전이를 포착하지 못합니다. 우리의 공식은 이러한 한계를 극복합니다.

이종 재료에서의 그래디언트 불연속성. 이종 재료에서는 변화하는 강성이 인터페이스 $Γ$를 가로질러 그래디언트 불연속성을 유발하며, 이는 법선 도함수에 대한 점프 조건으로 이어집니다 [Gilbarg/2001/Elliptic PDEs],

여기서 $\frac{\partial u}{\partial n}$은 법선 도함수를 나타내고, $n$은 $Γ$에 대한 단위 법선입니다. 유도 과정은 보충 자료를 참조하십시오.

이러한 현상은 메시 기반 PDE 맥락에서는 익숙하지만, 신경망 시뮬레이션 프레임워크에서는 아직 충분히 활용되지 않고 있습니다. 우리의 방법은 이러한 불연속성을 일반화 가능한 신경망 필드 아키텍처로 표현한 최초의 사례이며, 파라메트릭 형상 및 재료 공간 전반에 걸쳐 유효한 기저 함수를 가능하게 합니다.

그림 5와 그림 9에서 볼 수 있듯이, 표준 MLP를 사용하여 수식 6을 직접 최적화하면 재료 인터페이스에서의 급격한 불연속성을 포착하지 못하는 지나치게 평활화된 결과를 낳습니다. 반면에, 우리의 공식은 이러한 전이를 정확하게 보존합니다. 그림 8은 그래디언트와 그 오차를 시각화합니다. 우리의 방법은 SIREN 기반 신경망 필드보다 낮은 그래디언트 오차를 달성하며, 특히 불연속성이 발생하는 인터페이스에서 더욱 그렇습니다. 기저 계산이 특정 이산화에 밀접하게 결합된 전통적인 메시 기반 FEM 접근 방식과 달리, 우리의 방법은 이산화에 구애받지 않습니다. 이는 형상 군(family of shapes)에 걸쳐 기저 함수를 계산할 수 있게 하여, 향상된 일반화 성능을 제공합니다 (그림 15).

저희의 방법은 주름(creasing)의 부분 공간 시뮬레이션을 위한 기저 함수도 계산할 수 있는데, 이 경우 변위장은 주름으로 인해 불연속적인 미분값을 가집니다.

가중 디리클레 에너지를 사용했던 이전 섹션과 달리, 여기서는 단위-노름(unit-norm) 및 직교성 제약 조건 하에 헤시안 에너지(Hessian energy) [Stein/2018/Hessian energy]를 최소화하여 기저를 계산합니다:

여기서 $∥· ∥_F$는 프로베니우스 노름(Frobenius norm)이고 $∇^2𝝓∈R^{2×2}$는 2차 편도함수를 나타냅니다. 단위-노름과 직교성 제약 조건은 이전 섹션과 동일한 방식으로 구현됩니다. 이 공식은 주름에 명시적인 경계 조건을 부과하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 경사도 변화는 신경망 필드로부터 자연스럽게 발생하며, 이는 주름에서의 불연속성을 허용합니다. 그림 16은 저희의 공식으로 생성된 모드를 보여줍니다. 대조적으로, 기존의 신경망 필드는 내재적으로 매끄러운 특성 때문에 이러한 불연속성을 포착하지 못합니다.

모든 실험은 NVIDIA RTX 4090 GPU에서 훈련 및 테스트되었습니다. 저희의 방법은 PyTorch로 구현되었으며 Adam 옵티마이저를 사용하여 최적화되었습니다. 네트워크 아키텍처는 최대 주파수 25까지의 위치 인코딩을 사용하는 5개 레이어, 128채널의 SIREN MLP입니다. 클램핑 계수 $s$는 모든 2D 예제에 대해 $1/8$, 손과 골격 예제에 대해 $1/25$, 그리고 다른 모든 3D 사례에 대해 $1/16$으로 설정되었습니다.

모든 실험은 NVIDIA RTX 4090 GPU에서 훈련 및 테스트되었습니다.

저희 방법은 PyTorch로 구현되었으며 Adam 옵티마이저를 사용하여 최적화되었습니다.

네트워크 아키텍처는 최대 주파수 25까지의 위치 인코딩을 사용하는 5계층, 128채널의 SIREN MLP입니다.

클램핑 계수 $s$는 모든 2D 예제에 대해 $1/8$, 손과 골격 예제에 대해 $1/25$, 그리고 다른 모든 3D 사례에 대해 $1/16$으로 설정되었습니다.

그래디언트 불연속성 포착.

그래디언트 불연속성 포착. 저희는 U자 형태(그림 5)와 2D 달팽이(그림 9)에 대해 저희 기저 함수가 그래디언트 불연속성을 포착하는 능력을 입증합니다. 저희 방법은 재료 강성 변화 지점에서 날카로운 그래디언트 불연속성을 포착하는 유일한 방법이며, 그 결과는 FEM에 필적하면서도 이산화에 무관합니다 — 이 점은 다음 문단에서 자세히 설명합니다. 반면, SIREN을 사용하여 구현된 전통적인 신경망 필드는 그래디언트 불연속성을 포착하지 못하고 인터페이스에서 스무딩 아티팩트를 보입니다. 저희는 또한 $C^0$ 연속 활성화 함수(ReLU)를 가진 신경망 필드를 구현했습니다. 이러한 활성화 함수가 신경망 필드가 $C^0$ 연속 기저 함수를 표현할 수 있게 하리라 기대했습니다. 하지만 ReLU의 그래디언트 불연속성은 객체의 그래디언트 불연속성과 정렬될 수 없으므로, 강성 인터페이스에서 그래디언트 불연속성을 포착하는 데 실패합니다.

저희는 모델을 더욱 확장하여 그림 4에 보이는 것처럼 복잡한 그래디언트 불연속성을 포착할 수 있으며, 이는 부드러운 살과 단단한 골격으로 이루어진 손이 자연스럽게 구부러지는 시뮬레이션을 보여줍니다. 저희 방법은 또한 여러 강성 영역을 가진 이종 재료를 포착할 수 있습니다. 삽입된 그림에서 볼 수 있듯이, 세 개의 뚜렷한 강성 영역을 가진 동일한 직육면체 막대의 두 캔틸레버 시뮬레이션은 낮은 강성 끝에서 고정되었을 때와 높은 강성 끝에서 고정되었을 때 현저하게 다른 거동을 보입니다. 또한, 저희 접근 방식은 다양한 탄성 특성을 가진 재료를 수용합니다. 그림 10은 단단한 끝과 부드러운 중앙을 가진 블록이 다른 푸아송 비 하에서 늘어나는 것을 보여줍니다: 푸아송 비 $ν$가 증가함에 따라 변형은 더욱 부피를 보존하게 되며, 블록은 $ν=0.49$에서 비압축성에 가까워집니다.

이산화에 무관한 표현. 그림 15는 저희 방법의 이산화에 무관한 특성을 보여줍니다. 저희는 팔과 다리가 몸통보다 부드러운 이종 재료 분포를 가진 2D 로봇의 형상 공간에 대해 신경망 필드를 훈련합니다. 전통적인 FEM은 그래디언트 불연속성을 포착할 수 있지만, 각 도메인에 대한 명시적인 메쉬 생성이 필요합니다. 형상 패밀리의 경우, 모든 인스턴스에 걸쳐 일관된 이산화를 유지하는 것은 종종 비실용적이거나 불가능하여, 공간 전체에 걸쳐 공유된 기저를 구성하기 어렵게 만듭니다. 그림 15의 두 번째 행에서 볼 수 있듯이, 정점과 면의 수는 형상에 따라 크게 달라져 공통된 축소 모델의 재사용을 막습니다.

반면, 저희 방법은 메쉬 이산화에 독립적입니다. 단일 훈련된 신경망 필드는 전체 형상 공간에 걸쳐 일반화되어, 재메쉬 없이 임의의 기하학적 구조에 대한 기저 추론을 가능하게하며, FEM과 비교할 만한 정확도를 유지합니다. 이러한 유연성은 보충 비디오에서 볼 수 있듯이 재계산 없이 시뮬레이션 중 동적 형상 모핑을 지원합니다.

그림 1에서는 춤추는 동작을 수행하는 지속적으로 진화하는 로봇 가족을 보여줍니다. 이 로봇들은 부드러운 팔다리와 단단한 몸체로 구성된 3D 형상 공간에서 샘플링됩니다. 저희는 전체 공간에 걸쳐 기저 함수를 표현하기 위해 단일 모델을 훈련합니다. 결과적으로, 저희는 재메쉬나 시뮬레이션 재시작 없이 부드럽게 변화하는 로봇 모양으로 춤추는 동작을 시뮬레이션할 수 있습니다. 그림 6은 또 다른 예시를 보여줍니다: 단단한 두개골과 부드러운 조직을 가진 만화 동물 가족이 변수 $α$에 의해 매개변수화됩니다. 두개골은 주변 머리보다 100배 더 단단합니다. 동물이 고개를 끄덕이고 흔들면서 여우에서 곰으로 계속해서 변형됩니다. 신경망 기저는 원활하게 적응합니다: 귀나 코와 같은 낮은 강성 영역은 큰 변형을 보이지만, 단단한 두개골은 비교적 단단하게 유지됩니다.

미분 가능한 부분 공간 물리 시뮬레이션. 저희의 표현은 형상 매개변수 $α$에 대해 미분 가능하므로, 형상 최적화 작업에 적합합니다. 그림 14와 삽입된 그림은 잡기 위해 사용되는 로봇 손가락과 유사한 객체를 포함하는 예시를 보여줍니다. 각 손가락은 하나의 길고 부드러운 직육면체 막대와 한쪽에 부착된 세 개의 더 작고 단단한 블록으로 구성됩니다. 잡는 동작은 삽입된 그림에서 볼 수 있듯이 단단한 블록 상단 사이의 간격을 조정하여 제어됩니다. 초기 구성에서 시작하여, 형상 코드 $α$를 최적화함으로써 더 강하게 구부러진 손가락 모양을 얻을 수 있습니다.

저희 방법은 주름에 의해 발생하는 그래디언트 불연속성을 포착합니다. 저희는 수식 8에 정의된 손실 함수를 사용하여 2D 뉴럴 필드를 훈련시키고, 스칼라 값 출력을 $y$축을 따라 리프팅하여 결과로 나온 기저 함수를 시각화합니다. 그림 16에서 볼 수 있듯이, 저희의 접근 방식(첫 번째 행)은 주름을 따라 날카로운 엣지를 성공적으로 복원하는 반면, 표준 SIREN MLP(두 번째 행)는 내재된 연속성 때문에 주름을 인식하는 기저 함수를 생성하지 못합니다.

Fig 1: 삶을 통해 춤을 춥니다. 우리는 공간 도함수의 불연속성을 표현할 수 있는 뉴럴 필드 구조를 소개합니다. 우리의 접근 방식은 도메인과 내부 인터페이스 모두 형상 공간에 걸쳐 매개변수화될 수 있도록 합니다. 이는 매개변수적 형상 패밀리에 걸쳐 이종 재료의 이산화에 구애받지 않는 축소 공간 시뮬레이션을 가능하게 합니다. 이 애니메이션에서는 뻣뻣한 몸체와 부드러운 팔다리를 가진 로봇이 유년기에서 성인기까지 춤을 추며 나아가며, 각 단계는 매개변수적 형상 패밀리에서 가져옵니다. 공간 도함수의 불연속성은 주름진 얇은 판에서부터 급격한 강성 변화를 가진 재료에 이르기까지 광범위한 물리 시스템에서 나타납니다. 이러한 특징을 정확하게 모델링하는 것은 시뮬레이션에 필수적이지만, 불연속성에 정렬된 리메싱을 요구하는 전통적인 메쉬 기반 방법에게는 여전히 어려운 과제입니다. 이는 기하학을 시뮬레이션과 얽히게 하고 형상 패밀리 전반에 걸친 일반화를 방해합니다. 뉴럴 필드는 기저 함수를 공간에 대한 부드럽고 연속적인 함수로 인코딩하여 다양한 형상에 걸쳐 시뮬레이션을 가능하게 하는 매력적인 대안을 제공합니다. 그러나 그 부드러움 때문에 기울기 불연속성을 표현하는 데는 적합하지 않습니다. 이전 연구들은 함수 값의 불연속성을 다루었지만, 함수 연속성을 유지하면서 공간 도함수의 급격한 변화를 포착하는 것은 거의 주목받지 못했습니다. 우리는 네트워크 가중치에 위치를 고정시키지 않고 기울기 불연속성을 포착하는 뉴럴 필드 구조를 소개합니다. 리프팅 프레임워크에서 부드럽게 클램핑된 거리 함수로 입력 좌표를 보강함으로써, 진화하는 인터페이스에서 기울기 점프를 인코딩할 수 있습니다. 이 설계는 이종 재료와 진화하는 주름을 가진 매개변수화된 형상 패밀리의 이산화에 구애받지 않는 시뮬레이션을 지원하며, 형상 모핑, 대화형 주름 편집, 부드럽고 단단한 하이브리드 구조의 시뮬레이션과 같은 새로운 축소 차원 기능을 가능하게 합니다. 더 나아가, 우리 방법이 이전의 리프팅 기술과 결합하여 기울기와 값의 불연속성을 모두 포착할 수 있음을 보여주며, 통합된 모델 내에서 절단과 주름을 동시에 지원합니다.

Fig 2: 우리 방법은 입력 도메인을 더 높은 차원의 공간으로 리프팅하여 불연속적인 기울기를 가진 함수를 표현합니다. 내부 인터페이스가 있는 입력 도메인에서 시작하여, 공간 좌표를 보강하기 위해 부드럽게 클램핑된 거리 필드를 구성합니다. 이는 뉴럴 네트워크가 부드러운 기저 함수를 생성하도록 훈련되는 리프팅된 도메인을 정의합니다. 원래 도메인으로 다시 제한될 때, 결과적인 기저는 인터페이스에서 급격한 기울기 변화를 포착합니다.

Fig 3: 부드럽게 클램핑된 거리 함수와 그 기울기를 시각화합니다. 이 함수는 임계 거리 s를 넘어서면 평평해지면서도, 인터페이스(거리가 0인 지점)에서의 기울기 불연속성은 보존합니다.

Fig 4: 부드러운 살과 단단한 골격으로 이루어진 복잡한 손 장면에 우리 모델을 테스트합니다. 이 예시는 우리의 공간 해시를 통해 메모리 사용량이 감소하고 속도가 향상되었음을 보여줍니다. 클램핑된 거리 함수는 s보다 멀리 떨어진 점 쌍을 무시하여 쿼리를 지역화하므로 공간 해싱에 매우 적합합니다. 해시 구조는 향상된 메모리 효율성 덕분에 4.1배 더 많은 쿼리를 지원하며, 90k개의 쿼리 포인트(해싱 없을 때와 동일)로 테스트했을 때 3.6배의 속도 향상을 달성합니다.

Fig 5: 이종 재료로 구성된 2D "U"자형 도메인에서 다른 뉴럴 필드 아키텍처가 생성한 기저 함수와 우리 방법을 비교했습니다. 시각화를 위해 2D 형상을 Y축을 따라 리프팅하여 스칼라 기저 함수를 표현하고, 추가적인 색상 코딩으로 그 값을 나타냈습니다. 이전 연구에서 사용된 SIREN MLP는 재료 인터페이스에서의 급격한 변화를 포착하지 못합니다. C0 연속성을 허용하는 ReLU 기반 뉴럴 필드는 올바른 해로 수렴하지 않습니다. 반면, 우리 방법은 인터페이스를 가로지르는 급격한 기울기 변화를 성공적으로 포착합니다.

Table 1: 제시된 예제들에 대한 시뮬레이션 시간 데이터를 수집했습니다. 우리 방법은 많은 수의 시뮬레이션 정점을 포함하는 경우에도 종종 거의 실시간에 가까운 시뮬레이션 속도를 달성하는 등 높은 성능을 보입니다. 보고된 기저 구축 시간은 네트워크 추론을 수행하고 기저를 구성하는 데 필요한 시간을 반영합니다. 이 단계에서 약간의 오버헤드가 발생할 수 있지만, 시뮬레이션 시작 시 또는 설계 매개변수 𝛼가 변경될 때만 수행되므로 호출 빈도가 낮습니다.

Fig 6: 여우에서 곰으로 변형되는 매개변수화된 형상 패밀리의 시뮬레이션으로, 고개를 끄덕이고 흔드는 동작을 수행합니다. 각 형상은 주변의 부드러운 조직보다 100배 더 단단한 두개골을 포함하며, 이는 X-ray 뷰에 표시됩니다. 우리의 뉴럴 기저는 패밀리 전체에 걸쳐 적응합니다: 부드러운 영역(귀, 코)은 큰 변형을 겪는 반면, 단단한 두개골은 강성을 유지합니다.

Fig 7: 식 4의 s 값에 따른 기울기 놈(norm)의 L2 오차를 비교했으며, s에 대한 명확한 의존성을 찾지 못했습니다. 그라운드 트루스는 그림 5에 표시된 형상에 대해 FEM을 사용하여 계산되었습니다.

Fig 8: 기울기 놈과 그 오차를 모두 시각화했습니다. 우리 방법은 특히 불연속성이 발생하는 인터페이스에서 SIREN 기반 뉴럴 필드보다 더 작은 기울기 오차를 생성합니다.

Fig 9: 껍질이 몸체보다 100배 더 단단한 달팽이 모양에 대해 또 다른 비교를 수행했습니다. SIREN 및 ReLU 기반 뉴럴 필드는 급격한 기울기 변화를 포착하지 못하는 반면, 우리 방법은 기울기 불연속성을 성공적으로 복원합니다.

Fig 10: 우리 방법은 다양한 특성을 가진 재료를 수용합니다. 여기서는 단단한 끝부분과 부드러운 중앙 부분을 가진 블록이 다른 푸아송 비 하에서 늘어납니다. 푸아송 비 𝜈가 증가함에 따라 변형은 부피를 더 잘 보존하게 되며, 블록은 𝜈=0.49에서 비압축성에 가까워집니다.

Fig 11: 우리 방법은 보지 못한 재료 구성에도 일반화됩니다. 이 직육면체 막대 예제에서, 모델은 각각 𝛼로 매개변수화된 5개의 서로 다른 재료 레이아웃에 대해서만 훈련되었습니다. 이러한 제한된 지도에도 불구하고, 시뮬레이션은 훈련 범위 내의 𝛼 값을 가진 본 구성과 보지 못한 구성 모두를 정확하게 처리하여, 날카로운 전이와 강성 경계를 생성합니다. 그러나 훈련 범위를 벗어난 𝛼 값으로 평가할 때, 모델은 일반화 실패를 보이며 경계가 눈에 띄게 덜 날카로워집니다.

Fig 12: 신발의 윗부분(분홍색)과 밑창(파란색) 영역에 매개변수 𝛼로 제어되는 서로 다른 강성 값을 할당합니다. 𝛼 값이 높을수록 밑창에 비해 윗부분의 강성이 증가합니다. 위아래에서 압축될 때, 𝛼가 증가함에 따라 밑창이 더 큰 변형을 보입니다.

Fig 13: 다리 하단의 강성을 제어하기 위해 매개변수 𝛼를 설정합니다. 미분 가능한 최적화를 사용하여 목표 변위에 맞추도록 𝛼를 최적화합니다.

Fig 14: 우리 모델은 형상 매개변수 𝛼에 대해 미분 가능하여 축소 공간에서 형상 최적화를 가능하게 합니다. 로봇 손가락의 막대 사이 간격을 최적화합니다. 최적화된 형상(오른쪽)은 초기 추측(왼쪽)에 비해 더 큰 변형을 보입니다.

Fig 15: 우리 모델은 이종 도메인에 걸쳐 일반화되는데, 이는 이산 연산자의 고유 분석에 기반한 전통적인 방법으로는 어려운 과제입니다. 다양한 재료 강성을 가진 로봇 형상 공간(첫 번째 행)을 구성하고 제한된 들로네 삼각분할을 적용하여 209-560개의 정점을 가진 메쉬를 생성합니다. 이러한 변화는 메쉬 기반 방법이 일관된 기저를 표현하는 것을 방해하는 반면(두 번째 행), 우리 모델은 단일 네트워크로 모든 형상에 걸쳐 기저 함수를 포착합니다(세 번째 행). 스칼라 기저 함수는 두 번째와 세 번째 행에서 색상을 사용하여 시각화됩니다.

Fig 16: 주름이 있는 2D 도메인에서 우리 방법(윗줄)과 표준 SIREN MLP(아랫줄)에 의해 학습된 기저 함수 비교. 스칼라 값 기저 함수는 y축을 따라 리프팅하여 시각화됩니다. 우리 방법은 주름에 의해 도입된 급격한 기울기 불연속성을 성공적으로 포착하는 반면, 바닐라 MLP는 내재된 연속성으로 인해 이러한 비-평활 동작을 표현하지 못합니다.

Fig 17: 우리 방법은 주름 형상과 경계 조건을 모두 대화형으로 편집할 수 있게 합니다. (1)은 빨간 구를 드래그하여 경계 조건을 변경하는 방법을 강조하고, (2)는 인터페이스에서 폴리라인을 직접 편집하여 주름 모양을 수정하는 방법을 보여줍니다.

Fig 18: 우리 방법은 [Chang et al. 2025]와 결합될 수 있어, 점진적인 절단과 주름이 모두 발생하는 종이 같은 재료의 시뮬레이션을 가능하게 합니다. 왼쪽의 시퀀스는 주름과 절단이 발생함에 따라 부드러운 굽힘에서 날카로운 접힘으로 변형이 진화하는 것을 보여줍니다. 영역 (1)은 주름에서 절단으로의 전환을 강조하고, 영역 (2)는 그 반대인 절단에서 주름으로의 전환을 보여줍니다.

Fig 19: 왼쪽은 단일 주름 모양에 대해 훈련된 모델의 시뮬레이션 결과입니다. 상당히 다른 주름 모양으로 테스트했을 때, 기울기 불연속성은 포착하지만 물리적으로 의미 없는 동작을 생성합니다. 오른쪽은 두 주름 모양 모두에 대해 훈련하면 모델이 두 조건을 모두 성공적으로 시뮬레이션할 수 있게 됨을 보여줍니다.