본 연구는 건식 마찰 접촉을 지원하는 미분 가능한 천 시뮬레이터인 DiffCloth를 제안하며, 투영 동역학 기반의 효율적인 그래디언트 계산을 통해 로봇 보조 드레싱 및 역설계 등 다양한 응용 분야에서 획기적인 속도 향상을 달성했습니다.

천 시뮬레이션은 컴퓨터 애니메이션, 의류 디자인, 로봇 보조 드레싱 분야에서 널리 활용되고 있습니다. 본 연구에서는 추가적인 그래디언트 정보를 통해 천 관련 응용 작업을 용이하게 하는 미분 가능한 천 시뮬레이터를 제시합니다. 제안된 시뮬레이터는 투영 동역학(Projective Dynamics, PD)과 건식 마찰 접촉(dry frictional contact)을 결합한 최신 시뮬레이터를 확장한 것입니다 Ly/2020/Projective-Dynamics-with-Dry-Frictional-Contact.

우리는 선행 연구 Du/2021/DiffPD에서 영감을 얻어, 건식 마찰 접촉이 포함된 PD 기반 천 시뮬레이션에서 그래디언트를 도출하는 빠르고 새로운 방법을 제안합니다. 나아가, 접촉이 빈번한 천 시뮬레이션 환경에서 그래디언트 정보가 얼마나 유용한지에 대해 종합적인 분석과 평가를 수행합니다.

마지막으로 시스템 식별, 보조 드레싱을 위한 궤적 최적화, 폐루프 제어, 역설계, 그리고 실물-가상 전이(real-to-sim transfer) 등 다양한 하위 응용 분야에서 본 시뮬레이터의 효능을 입증합니다. 이러한 대부분의 응용 과제를 해결할 때 그래디언트 정보를 활용함으로써 상당한 속도 향상을 거둘 수 있음을 확인했습니다.

의류는 우리 일상생활 어디에나 존재합니다. 패션 산업, 영화 산업, 컴퓨터 애니메이션 및 비디오 게임에서 의류의 등장이 보편화됨에 따라, 천을 시뮬레이션하는 것은 20년 이상 활발한 연구 주제가 되어 왔습니다. 오늘날 천 시뮬레이션 기술의 발전은 가상 시착, 의류 디자인, 주름 디자인, 의류 등급화, 처짐 없는 역변환, 그리고 로봇 보조 드레싱과 같은 다양한 응용 분야를 가능하게 했습니다.

본 논문은 빈번한 접촉과 마찰이 발생하는 천 시뮬레이션의 특성을 고려하여, Projective Dynamics와 건식 마찰 모델을 결합한 새로운 미분 가능 천 시뮬레이터를 제안하고 다양한 응용 분야에서의 효율성을 입증합니다.

의류는 우리 일상생활 어디에나 존재합니다. 패션 산업, 영화 산업, 컴퓨터 애니메이션 및 비디오 게임에서 의류가 널리 등장함에 따라, 천 시뮬레이션은 20년 이상 활발한 연구 주제가 되어 왔습니다. 오늘날 천 시뮬레이션 연구의 발전은 가상 시착, 의류 디자인, 주름 디자인, 의류 그레이딩, 처짐 없는 인버전, 그리고 로봇 보조 의복 착용과 같은 다양한 응용 분야를 가능하게 했습니다.

최근 미분 가능 물리 시뮬레이션의 발전과 강체 시스템, 유체 시스템 및 변형 가능한 물체 시스템에서의 성공에 영감을 받아, 본 논문에서는 수많은 천 관련 응용 분야 역시 고품질의 미분 가능 천 시뮬레이터로부터 이득을 얻을 수 있다고 주장합니다. 기존 미분 가능 시뮬레이터의 핵심 요소는 시뮬레이션을 통해 미분 가능한 성능 지표를 역전파(backpropagating)하여 그레이디언트(gradients)를 계산하는 능력입니다. 이러한 추가적인 그레이디언트 정보는 그레이디언트 기반의 연속 최적화 방법을 가능하게 하며, 이는 종종 다운스트림 응용 분야에서 그레이디언트가 없는 방식에 비해 상당한 속도 향상을 가져옵니다.

강체 및 연성체 역학을 위한 미분 가능 시뮬레이터의 활발한 개발에 비해, 미분 가능 천 시뮬레이션에 대한 연구는 여전히 상대적으로 부족합니다. 실제로 천 시뮬레이션은 여차원(co-dimensional) 동역학과 특히 풍부한 접촉 이벤트로 인해 독특한 도전을 제기합니다. 많은 미분 가능 시뮬레이터가 다양한 복잡성의 접촉 모델에 대한 그레이디언트 유도 솔루션을 제공해 왔지만, 그들의 기술은 일반적으로 천 시뮬레이션만큼 접촉이 빈번할 것으로 예상하지 않습니다. 천 시뮬레이션에서 빈번한 접촉과 자기 충돌(self-collisions)이 발생하는 상황에서의 그레이디언트 유도는 최첨단 미분 가능 천 시뮬레이터에서도 아직 완전히 해결되지 않았으며, 본 연구는 이 간극을 메우고자 합니다.

본 연구에서는 접촉 모델에 특별한 주의를 기울인 미분 가능 천 시뮬레이터를 제시합니다. 우리는 Ly/2020/Projective-Dynamics-with-Dry-Frictional-Contact의 최첨단 천 시뮬레이터를 기반으로 하며, Projective Dynamics (PD) 시뮬레이션 방법과 Signorini-Coulomb 법칙에 의해 설명되는 건식 마찰 접촉(dry frictional contact) 모델을 채택합니다. 따라서 우리의 미분 가능 천 시뮬레이터는 PD의 빠른 속도와 건식 마찰 모델의 물리적 정확성을 모두 상속받습니다. 그레이디언트 유도를 위해 자동 미분 도구에 의존하는 이전 논문들과 달리, 우리는 Du/2021/DiffPD에서 영감을 얻어 건식 마찰 접촉 모델에 적합하게 수정된 반복적 솔버(iterative solver)를 제안합니다. 우리는 수정된 반복적 솔버가 그레이디언트 계산에서 표준 선형 솔버보다 상당한 속도 향상을 이끌어냄을 보여줍니다.

잘 정의된 그레이디언트를 갖기 위해, 미분 가능 시뮬레이터는 시뮬레이션에서 계산된 모든 양이 충분히 매끄럽기를 기대합니다. 그러나 수많은 접촉 이벤트로 인한 비매끄러운(non-smooth) 위치 및 힘의 변화는 이러한 근본적인 가정에 의문을 제기합니다. 접촉이 빈번한 환경에서 미분 가능 시뮬레이터의 유용성을 완전히 이해하기 위해, 본 연구는 다양한 접촉 이벤트 수에 따른 미분 가능 천 시뮬레이션의 동작에 대해 포괄적인 평가 및 분석을 수행합니다. 우리가 아는 한, 본 연구는 건식 마찰 접촉을 포함하는 미분 가능 천 시뮬레이터에서 그레이디언트의 유용성에 대한 이러한 평가와 논의를 제시하는 첫 번째 사례입니다.

우리는 시스템 식별, 로봇 보조 착용을 위한 궤적 최적화, 폐루프 제어, 역설계(inverse design), 그리고 실물-시뮬레이션 전이(real-to-sim transfer)를 포함한 다양한 응용 분야에서 우리 시뮬레이터의 효능을 입증합니다. 이러한 응용 분야 중 상당수는 기존 방법으로는 해결이 불가능하거나 훨씬 더 오랜 시간이 걸릴 것입니다. 미분 가능 시뮬레이터의 추가적인 그레이디언트 정보를 통해, 우리는 전통적인 그레이디언트 없는 방법보다 훨씬 높은 샘플 효율성으로 이러한 문제들을 해결하는 그레이디언트 기반 최적화 도구를 사용할 수 있게 되었습니다.

요약하자면, 본 연구의 기여도는 다음과 같습니다.

• 건식 마찰 접촉을 포함하는 새로운 미분 가능 천 시뮬레이터와 그레이디언트 계산 속도를 높이기 위한 반복적 솔버를 제시합니다.
• 건식 마찰 접촉 모델에서 비미분 가능성(non-differentiability)의 근원을 평가하고, 접촉이 빈번한 미분 가능 천 시뮬레이션에서 그레이디언트의 유용성을 논의합니다.
• 시스템 식별, 보조 착용을 위한 궤적 최적화, 폐루프 제어, 역설계 및 실물-시뮬레이션 전이를 포함한 다양한 응용 분야에서 시뮬레이터의 효능을 보여줍니다.

이 섹션은 의류 시뮬레이션, 접촉 및 마찰 처리, 역동역학, 그리고 미분 가능한 시뮬레이션에 관한 기존 연구들을 검토합니다. 특히 기존의 페널티 기반 접촉 모델의 한계를 지적하며, 본 논문이 기반으로 삼는 프로젝트 동역학(PD)과 건식 마찰 모델의 발전 과정을 설명합니다.

본 연구는 의류 시뮬레이션 및 컴퓨터 그래픽스에서의 응용 분야와 밀접한 관련이 있습니다. 또한 그래픽스 및 머신러닝 커뮤니티에서 개발된 최신 미분 가능한 시뮬레이션 방법들과도 연관되어 있습니다.

물리 기반 의류 시뮬레이션은 수십 년 동안 그래픽스 분야의 인기 있는 주제였습니다. Baraff/1998/Large-steps-in-cloth-simulation 등에서 사용된 Implicit Euler 통합법은 큰 시간 단계 $h$에서도 안정적이지만 과도한 수치적 감쇠를 발생시킵니다. 이를 해결하기 위해 탄성력은 명시적으로, 감쇠력은 암시적으로 통합하는 IMEX 방법이나 시스템의 총 에너지를 보존하는 Symplectic 통합기 등이 도입되었습니다.

질량-스프링 시스템으로 모델링된 의류의 경우, Liu/2013/Fast-simulation-of-mass-spring-systems는 Implicit Euler 통합을 에너지 최소화 문제로 다루었습니다. 이 아이디어는 Projective Dynamics (PD)로 일반화되었으며, 로컬-글로벌 솔버를 통해 효율적인 계산을 가능하게 합니다. 또 다른 관련 아이디어인 Position-based Dynamics (PBD)는 제약 조건을 비선형 Gauss-Seidel 방식으로 투영하여 GPU에서 높은 병렬성을 달성합니다.

접촉과 마찰은 현대 의류 시뮬레이션의 핵심 요소입니다. 반발력이나 페널티 방법은 구현이 쉽지만, 높은 강성으로 인한 지터링(jittering) 아티팩트가 발생하기 쉬워 세밀한 튜닝이 필요합니다. 반면 제약 조건 기반 방법은 접촉을 물리적 제약으로 공식화하며, Otaduy/2009/Cloth-contacts-LCP는 이를 선형 상보성 문제 (LCP)로 풀었습니다. 최근 Ly/2020/Projective-dynamics-with-dry-frictional-contact는 건식 마찰 접촉을 PD 프레임워크에 통합하여 비침투 조건과 쿨롱 마찰 제약을 동시에 만족시키는 효율적인 알고리즘을 제안했습니다.

역동역학(Inverse dynamics)은 관측된 시스템으로부터 내부 힘이나 토크를 재구성하는 분야입니다. 미분 가능한 시뮬레이션과 역동역학의 주요 차이점은, 미분 가능한 시뮬레이션이 초기 상태, 시스템 파라미터, 디자인 파라미터에 대한 추가적인 그래디언트 정보를 계산한다는 점입니다. 이를 통해 시스템 식별, 역디자인, Real-to-Sim 매칭 등 더 넓은 응용이 가능해집니다.

미분 가능한 시뮬레이션은 비교적 최근의 개념이지만, Liang/2019/Differentiable-cloth-simulation은 접촉, 마찰, 자가 충돌을 포함한 기능적인 미분 가능 의류 시뮬레이터를 처음으로 소개했습니다. 본 논문은 Du/2021/DiffPD의 미분 가능한 PD 프레임워크를 기반으로 하며, 건식 마찰 접촉 모델을 결합하고 그래디언트 계산을 위한 반복 솔버를 추가하여 이를 확장합니다. 특히 의류 시뮬레이션에서 빈번하게 발생하는 비매끄러운(non-smooth) 접촉 이벤트가 그래디언트의 유용성에 미치는 영향을 심층적으로 분석합니다.

이 섹션에서는 본 연구의 기반이 되는 건식 마찰 접촉을 포함한 프로젝트 다이내믹스(PD) 시뮬레이션 기법을 검토합니다. 특히 PD의 핵심인 로컬-글로벌 솔버 구조와 이를 최적화 문제로 해석하는 관점을 설명하며, 이후 제안할 미분 가능한 그래디언트 계산의 토대를 마련합니다.

이 섹션에서는 본 논문의 미분 가능한 의류 시뮬레이터의 기반이 되는 Ly/2020/Projective-dynamics-with-dry-frictional-contact에서 설명된 건식 마찰 접촉을 포함한 프로젝트 다이내믹스(PD) 의류 시뮬레이션 방법을 간략하게 검토합니다. 본 연구의 핵심 기여는 이 건식 마찰 접촉 PD 프레임워크에서의 그래디언트 계산(gradient computation) 개발에 있으며, 이에 대한 자세한 내용은 다음 섹션에서 다룹니다.

음함수 시간 적분(Implicit time integration). 우리는 의류를 $m$개의 3D 노드로 구성된 노드 시스템으로 모델링합니다. $x(t)$와 $v(t)$를 시간 $t$에서의 모든 노드의 위치와 속도를 나타내는 $\mathbb{R}^+$에서 $\mathbb{R}^{3m}$으로의 두 벡터 함수라고 합시다. 우리는 다음과 같이 $x(t)$와 $v(t)$를 이산화하는 표준 음함수 시간 스텝 스킴을 고려합니다.

여기서 $h$는 시간 간격 크기, $M$은 $3m \times 3m$ 크기의 양의 대각 질량 행렬이며, $f_{int}$와 $f_{ext}$는 각각 각 노드에서의 내부 및 외부 힘을 쌓은 $3m$ 차원 벡터입니다. 현재 $f_{int}$와 $f_{ext}$에는 접촉력이 포함되지 않는다고 가정하며, 이는 3.2절에서 별도로 논의합니다. 우리는 Bouaziz/2014/Projective-Dynamics에 설명된 의류 재질 모델을 사용하여 $f_{int}$를 정의합니다.

최적화 관점(Optimization view). Martin/2011/Example-Based-Elastic-Materials에서 논의된 바와 같이, 음함수 시간 스텝 스킴은 다음 에너지 최소화 문제의 안장점(saddle point)을 찾는 것으로 재구성될 수 있습니다.

PD의 로컬 및 글로벌 솔버. PD의 핵심 가정은 내부 에너지 $W$가 이차 형식(quadratic forms)의 합으로 쓰여질 수 있다는 것입니다. PD는 대리 목적 함수(surrogate objective function) $\tilde{g}$를 최소화하기 위해 로컬-글로벌 솔버를 제안합니다.

로컬 단계와 글로벌 단계를 교대로 수행함으로써, PD는 수렴할 때까지 대리 에너지 $\tilde{g}$를 단조적으로 감소시킵니다. PD의 효율성은 행렬 $P$가 상수 행렬이라는 점에 기인하며, 이는 매 단계에서 후방 대입(back-substitution)만 필요로 하는 효율적인 글로벌 단계를 가능하게 합니다.

천 시뮬레이션을 위해 암시적 시간 적분 방식을 사용하며, 이를 에너지 최소화 문제로 변환하여 로컬-글로벌 최적화 단계로 해결하는 Projective Dynamics(PD) 프레임워크를 설명합니다. 특히 전역 단계에서 사용되는 행렬 P가 상수이므로 사전 분해가 가능하여 계산 효율성이 매우 높다는 점이 핵심입니다.

암시적 시간 적분(Implicit time integration). 우리는 천을 $m$개의 3D 노드로 구성된 노달 시스템으로 모델링합니다. $x(t)$와 $v(t)$를 시간 $t$에서의 모든 노드의 위치와 속도를 나타내는 $R^{3m}$으로의 두 벡터 함수라고 합시다. 우리는 다음과 같이 $x(t)$와 $v(t)$를 이산화하는 표준 암시적 시간 적분 스킴을 고려합니다.

여기서 $h$는 타임 스텝 크기, $M$은 $3m \times 3m$ 크기의 양의 대각 질량 행렬이며, $f_{int}$와 $f_{ext}$는 각각 각 노드에서의 내부 및 외부 힘을 3m 차원 벡터로 쌓은 것입니다. 현재로서는 $f_{int}$와 $f_{ext}$에 접촉력이 포함되지 않는다고 가정하며, 이는 3.2절에서 별도로 다룰 것입니다. 우리는 Bouaziz/2014/Projective-Dynamics에서 설명된 천 재질 모델을 사용하여 $f_{int}$를 정의합니다. 이 암시적 시간 적분 스킴은 시간 $t_n$에서의 노달 시스템 상태 $(x_n, v_n)$을 새로운 시간 $t_{n+1} = t_n + h$에서의 상태 $(x_{n+1}, v_{n+1})$로 연결합니다.

최적화 관점(Optimization view). Martin/2011/Example-Based-Elastic-Materials에서 논의된 바와 같이, 암시적 시간 적분 스킴은 다음 에너지 최소화 문제의 안장점(saddle point)을 찾는 것으로 재해석될 수 있습니다.

여기서 $y = x_n + h v_n + h^2 M^{-1} f_{ext}$는 현재 타임 스텝의 시작점에서 미리 계산할 수 있는 상수 벡터입니다. 잠재 에너지 $W$는 공간적 그래디언트를 통해 내부 힘 $f_{int}$를 정의합니다: $f_{int} = -\nabla W(x_{n+1})$. 목적 함수의 그래디언트를 0으로 설정하면 수식 1 및 2와 동일한 방정식 시스템이 도출됨을 쉽게 확인할 수 있습니다.

PD의 로컬 및 글로벌 솔버. Projective Dynamics (PD)의 핵심 가정은 내부 에너지 $W$가 이차 형식(quadratic forms)의 합으로 쓰일 수 있다는 것입니다.

여기서 각 에너지 $W_i$는 $x$의 선형 변환인 $A_i x$를 집합 $M_i$의 가장 가까운 점으로 투영하고, 그 제곱 거리에 미리 지정된 강성 $w_i$를 곱합니다. $A_i$와 $M_i$는 모두 사전에 정의되며 $x$와 독립적입니다. 여기서 $M_i$는 제약 매니폴드이고, $p_i$는 보조 투영 변수입니다. 이러한 $W$에 대한 가정을 바탕으로, PD는 대리 목적 함수(surrogate objective function)를 최소화하기 위한 로컬-글로벌 솔버를 제안합니다.

로컬 단계에서 PD는 $x_{n+1}$을 고정하고 수식 4를 풀어 각 $p_i$를 해당 $M_i$로 투영합니다. 이러한 로컬 단계는 각 $W_i$에 대해 병렬로 처리될 수 있습니다. 글로벌 단계에서 PD는 $p$를 고정하고 $x_{n+1}$의 함수로서 대리 에너지를 최소화하며, 이는 다음과 같은 폐쇄형 솔루션(closed-form solution)을 갖습니다.

로컬 단계와 글로벌 단계를 교대로 반복함으로써, PD는 수렴할 때까지 대리 에너지를 단조적으로 감소시킵니다. PD의 효율성은 행렬 $P$가 시뮬레이션 시작 시 사전 분해(pre-factorized)될 수 있는 상수 행렬이라는 관찰에서 비롯되며, 이는 역대입(back-substitution)만 필요한 효율적인 글로벌 단계를 가능하게 합니다.

이 섹션은 Signorini-Coulomb 법칙을 통해 Projective Dynamics(PD)에 건식 마찰 접촉을 통합하는 수치적 방법을 설명합니다. 각 노드의 운동량 방정식을 분리하여 이륙, 부착, 미끄러짐 상태를 독립적으로 처리하는 반복적 솔버를 제안합니다.

Signorini-Coulomb 법칙. Ly/2020/Projective-Dynamics-with-Dry-Frictional-Contact은 접촉이 노드에만 적용된다고 가정하여 기존의 Projective Dynamics (PD) 프레임워크에 비관통 충돌과 쿨롱 마찰을 추가하였다. 각 타임 스텝에서 충돌 감지 알고리즘은 접촉 노드의 인덱스 집합 $I \subseteq \{1, 2, 3, \dots, m\}$을 식별한다. 각 노드 $j \in I$에 대해, Signorini-Coulomb 법칙은 국소 힘 $r_j$와 속도 $u_j$가 다음 세 가지 조건 중 하나를 만족할 것을 요구한다.

여기서 $\mu$는 마찰 계수이고, $u_j$와 $r_j$는 접평면과 접촉 법선으로 구성된 국소 접촉 프레임에서의 노드 속도와 접촉력이다. 유효한 $(r_j, u_j)$ 쌍의 집합을 $C_j$로 정의하면 수식 8을 $(r_j, u_j) \in C_j$로 간결하게 표현할 수 있다.

건식 마찰 접촉을 포함한 암시적 시간 적분. 기존의 암시적 시간 적분은 접촉 조건을 설명하는 추가 제약 조건으로 보강되어야 한다.

여기서 $J_n$은 접촉 노드에서 정의된 전역 벡터를 선택하여 국소 접촉 프레임의 좌표로 계산하는 $3|I_n| \times 3m$ 크기의 Jacobian 행렬이다. 본 배경 섹션에서는 정적인 평면과의 단순 접촉을 가정하여 $J_n$을 상수 행렬로 취급하지만, 자기 충돌(self-collisions)이나 비평면 장애물과의 접촉으로도 확장이 가능하다.

건식 마찰 접촉을 포함한 Projective Dynamics. Ly/2020의 핵심 아이디어는 각 접촉 노드를 독립적으로 해결하는 추가적인 로컬 단계(local step)를 PD에 도입하는 것이다. 접촉 조건이 위치가 아닌 속도에 대해 정의된다는 점에 착안하여, 전역 단계를 속도에 대한 방정식으로 재작성한다.

전역 솔버의 목표는 각 $j$에서 접촉 조건을 만족하는 $(v_{n+1}, r_{n+1})$을 찾는 것이다. 수식 11에서 $P$만이 서로 다른 노드의 접촉력을 결합시킨다는 점을 이용하여, 다음과 같은 반복적 솔버(iterative solver)를 제안한다.

반복적 솔버가 수렴하면 그 결과는 수식 9의 해가 됨이 증명되었다.

본 섹션에서는 3절의 전방향 시뮬레이터를 확장하여 미분 가능한 천 시뮬레이터를 구축하는 방법을 설명하며, 특히 쿨롱 마찰 법칙을 포함한 빈번한 접촉 이벤트를 처리하는 본 모델만의 독창성을 강조합니다.

이제 3절에서 소개한 전방향 시뮬레이터를 확장하여 미분 가능한 천 시뮬레이터를 구축하는 과정을 상세히 설명하겠습니다. 먼저 접촉이 없는 상태에서 Projective Dynamics (PD)의 음함수 시간 적분(implicit time integration)을 미분하는 것부터 시작하여, 이후 접촉 그래디언트를 이 프레임워크에 어떻게 추가할 수 있는지 설명합니다.

다른 미분 가능한 시뮬레이터와 비교했을 때, 본 시뮬레이터는 천 시뮬레이션 특유의 빈번한 접촉(contact-rich) 현상을 다루는 방식에서 독보적입니다. 기존의 많은 미분 가능한 시뮬레이터들은 강체나 변형체 역학에서의 드문 접촉 이벤트에 집중해 왔으며, 최신 천 시뮬레이션 방법조차 빈번한 접촉을 처리하기는 하지만 물리 기반 접촉력이나 마찰력이 결여되어 있다는 한계가 있었습니다.

저희가 파악한 바로는, 본 연구는 쿨롱의 마찰 법칙(Coulomb’s law of friction)과 함께 빈번한 접촉 이벤트를 처리할 수 있는 미분 가능한 천 시뮬레이터를 제시하는 첫 번째 사례입니다.

본 섹션은 Signorini-Coulomb 마찰 법칙을 포함한 미분 가능한 천 시뮬레이션의 그래디언트 유도 방법을 제안합니다. 특히 Projective Dynamics 프레임워크 내에서 접촉력을 고려한 역전파 알고리즘을 설계하고, 이를 병렬화 가능한 반복적 솔버로 구현하여 대규모 접촉 이벤트에서도 높은 효율성을 유지합니다.

Du et al./2021/DiffPD에서 Projective Dynamics(PD) 프레임워크에 역전파를 통합하는 방법을 광범위하게 논의했지만, 접촉 지원은 마찰에 대한 적절한 처리 없이 비침투 조건에만 국한되었습니다. 반면, Signorini-Coulomb 법칙을 따르는 접촉 그래디언트 해법을 제시한 기존 연구들은 주로 소규모 문제(예: 강체)나 정적인 지면에서의 희소한 접촉 이벤트에만 집중했습니다. 본 연구에서는 PD의 속도 향상 이점을 계승하면서도, 천 시뮬레이션에서 흔히 발생하지만 기존 미분 가능 시뮬레이터에서는 간과되었던 자기 충돌과 같은 복잡한 접촉 이벤트의 그래디언트를 처리하는 미분 가능한 천 시뮬레이터를 제시합니다.

접촉이 있는 시뮬레이션의 $n$번째 시간 단계를 고려해 봅시다. 전방향 시뮬레이션은 각 접촉 노드 $j$에 대해 Equation 8의 접촉 조건 중 어느 것이 적용되는지 식별합니다. 예를 들어, 접촉 노드 $j$가 미끄러짐(slip) 상태인 경우, 그 제약 조건은 다음과 같이 요약될 수 있습니다.

부등식 제약 조건이 비활성 상태라면 시뮬레이터 입력을 약간 섭동시켜도 상태가 유지되므로 역전파 시 이를 제거할 수 있습니다. 반면 부등식이 활성 상태인 코너 케이스(corner cases)에서는 그래디언트가 엄밀하게 정의되지 않습니다. 이러한 지점은 시뮬레이터에 비매끄러움(non-smoothness)을 도입하지만, 표준 ReLU 활성화 함수가 꺾이는 점에서도 연속성을 유지하는 것과 마찬가지로 불연속성을 생성하지는 않습니다.

제약 조건을 비선형 벡터 함수 $C_n(r_{n+1}, J_n v_{n+1}) = 0$으로 표현하면, 전체 시스템을 다음과 같이 재구성할 수 있습니다.

첫 번째 방정식을 $v_n$에 대해 미분하면 다음과 같은 야코비안(Jacobian)을 얻습니다.

$\frac{\partial C_n}{\partial r}$과 $\frac{\partial C_n}{\partial u}$를 계산하는 것은 3x3 블록 대각 행렬이므로 매우 간단하며, 따라서 $\Delta R$ 계산은 모든 접촉 노드에 대해 병렬화될 수 있습니다. 역전파는 수식 28과 같이 수전(adjoint) 방법을 통해 구현됩니다.

PD의 에너지 형태에 대한 가정을 활용하면, 수전 벡터 $z_{n+1}$을 구하기 위한 선형 시스템을 다음과 같은 반복적 솔버(iterative solver)로 재작성할 수 있습니다.

이론적으로 이 솔버는 스펙트럴 반경이 1보다 작을 때 수렴이 보장됩니다. 경험적으로 천 시뮬레이션에서 발산은 드물게 발생하며, 수렴하지 않을 경우 직접적인 희소 행렬 솔버로 전환하여 해결합니다.

정적인 비평면 표면과의 충돌이나 노드 간의 자기 충돌(self-collisions)의 경우, 야코비안 $J_n$을 위치 $x_n$의 함수로 정의하여 그래디언트 유도 과정을 동일하게 적용할 수 있습니다. 본 연구는 Ly et al./2020/PD-Dry-Friction의 노드 기반 접촉 모델을 계승하므로, 면-면 충돌 등은 향후 연구 과제로 남겨둡니다.

이 섹션에서는 제안된 미분 가능한 천 시뮬레이션의 수치적 특성을 분석합니다. 그래디언트의 비평활성 원인, 고차원 최적화에서의 유용성, 기존 모델과의 비교, 그리고 역전파 시 반복 솔버의 성능을 중점적으로 다룹니다.

이 섹션에서는 4절에서 제안한 미분 가능한 천 시뮬레이션 방법의 수치적 특성을 평가하고 논의합니다. 먼저 비평활성(non-smoothness)의 원인을 분석하여 그래디언트를 평가하고, 고차원 최적화 문제에서의 유용성을 연구합니다. 다음으로, 본 연구의 건식 마찰 모델(dry frictional model)을 최신 미분 가능한 천 시뮬레이션 방법인 Liang/2019/Differentiable Cloth Simulation for Inverse Problems의 모델과 비교하고 차이점을 논의합니다. 마지막으로, 역전파(back-propagation) 과정에서 사용되는 반복 솔버(iterative solver)의 수치적 특성을 분석하고 직접 선형 솔버(direct linear solver)와 성능을 비교합니다.

최적화 변수의 차원이 높아질수록 미분 기반 방식(L-BFGS-B)이 미분 비사용 방식(CMA-ES)보다 훨씬 빠른 수렴 속도와 효율성을 보임을 실험적으로 입증했습니다. 특히 300차원의 고차원 문제에서 그래디언트 정보의 유무가 성능 차이를 결정짓는 핵심 요소임을 확인했습니다.

그래디언트 기반 접근 방식이 그래디언트 비사용 방식에 비해 가지는 장점 중 하나는 수렴 속도가 더 빠르다는 것입니다. 일반적으로 그래디언트 비사용 방법은 인근의 수많은 샘플을 평가하여 목적 함수의 국소적 지형을 탐색합니다. 그러나 이러한 샘플링 방식은 결정 변수의 차원이 높아질수록 효율성이 급격히 떨어집니다. 이러한 이유로, 우리는 결정 변수의 수가 많을 때 미분 가능한 시뮬레이터의 그래디언트를 사용하는 것이 가장 유익할 것이라는 가설을 세웠습니다.

우리는 제어 최적화 문제를 통해 이 가설을 검증했습니다. 각 노드에 시간에 따라 변하지 않는 외력이 가해지는 천 조각을 시뮬레이션합니다. 목표는 천의 중심을 최종 목표 위치로 끌어당기도록 각 노드의 힘을 설계하는 것입니다 (Figure 4 상단). 우리는 자유도(DoFs)를 $4 \times 4$ 노드, $5 \times 5$ 노드, $7 \times 7$ 노드, $10 \times 10$ 노드의 네 가지 설정으로 시뮬레이션했습니다. 따라서 최적화 문제의 변수 개수는 각각 $48$, $75$, $147$, $300$개입니다.

Figure 4는 이 문제에서 다양한 자유도에 따른 두 가지 대표적인 방식인 L-BFGS-B와 CMA-ES의 수렴 속도를 보고합니다. 가장 큰 설정인 $300$ 자유도에서 시작하여, 다섯 개의 무작위 초기 추측값을 병렬로 사용하여 두 방식을 모두 실행했습니다. Figure 4 하단 왼쪽에는 최적화 과정에서 소비된 시간 단계에 따른 최소 손실 곡선을 그렸습니다. 예상대로 300 자유도 최적화 문제에서 L-BFGS-B가 CMA-ES보다 명확하게 빠름을 확인할 수 있습니다.

또한, 다른 세 가지 설정에 대해서도 실험을 반복하고 Figure 4 하단 오른쪽에 자유도 대비 속도 향상 곡선을 그렸습니다. 여기서 속도 향상은 손실이 $0.01$에 도달했을 때 CMA-ES와 L-BFGS-B가 사용한 시간 단계의 비율입니다. 다시 한번, 모든 설정에서 L-BFGS-B의 상당한 속도 향상을 관찰했으며, 자유도가 높을수록 속도 향상 폭이 가장 컸습니다. 이 관찰 결과는 역설계 문제에서 미분 가능한 천 시뮬레이터의 그래디언트를 사용하는 것이 유익함을 입증합니다.

본 연구의 시뮬레이터와 기존 최신 기술인 Liang 등의 모델을 비교한 결과, 제안된 건식 마찰 접촉 모델이 상보성 조건을 충족하여 팝핑 현상 없이 물리적으로 훨씬 더 정확한 시뮬레이션 결과를 생성함을 확인했습니다.

우리는 제안하는 미분 가능한 시뮬레이터의 접촉 모델을 Liang/2019/Differentiable-cloth-simulation-for-inverse-problems의 최신 미분 가능한 천 시뮬레이터와 비교했습니다. 두 모델 모두 침투가 없는 시뮬레이션을 보장하고 자기 충돌을 감지합니다. 본 연구는 노드 간 충돌을, Liang/2019/Differentiable-cloth-simulation-for-inverse-problems은 정점-면 및 선분-선분 충돌을 감지한다는 차이가 있습니다.

하지만 Liang 등의 접촉 모델은 접촉력이나 마찰력에 대한 상보성 조건(complementarity conditions)을 고려하지 않으며, 이는 원치 않는 아티팩트로 이어질 수 있습니다. 이 문제를 시각화하기 위해 냅킨이 그릇의 내면으로 자유 낙하하는 테스트 시나리오를 고려했습니다(Figure 5). 두 시뮬레이터 모두 수치적 폭발 없이 시뮬레이션을 수행했습니다.

그러나 제안하는 시뮬레이터의 건식 마찰 접촉 모델은 물리적으로 더 사실적인 움직임을 보여주는 반면, 기존 모델은 그릇과 접촉한 후 냅킨의 크기가 급격히 변하며 팝핑 아티팩트(popping artifact)가 발생했습니다. 이러한 아티팩트가 발생하는 이유는 기존의 충돌 처리 알고리즘이 고정 접촉력이 필요한지 확인하지 않고 침투 후 노드 위치를 직접 수정하기 때문입니다. 냅킨이 그릇의 오목한 내면과 접촉할 때, 이러한 직접적인 수정은 추가적인 탄성 에너지를 주입하게 됩니다. 이 실험은 미분 가능한 천 시뮬레이션에서 더 발전된 접촉 및 마찰 모델을 지원하는 것이 실용적이고 유익하다는 것을 입증합니다.

본 섹션에서는 제안된 미분 가능한 천 시뮬레이터의 성능을 시스템 식별, 로봇 보조 드레싱, 역설계 등 다양한 응용 사례를 통해 검증하며, 기존의 그래디언트 프리 최적화 방식보다 뛰어난 효율성을 입증합니다.

본 섹션에서는 건식 마찰 접촉을 포함한 제안된 미분 가능한 천 시뮬레이션의 이점을 누릴 수 있는 다양한 응용 사례를 보여줍니다. 모든 실험은 여러 개의 무작위 시드(random seeds)를 사용하여 반복했으며, 모든 방법에 대해 동일한 무작위 시드 세트(초기 파라미터 세트)를 사용했습니다. 최적화 결과 및 그래디언트가 없는 알고리즘(gradient-free algorithms)과의 비교는 표 2에 보고되어 있습니다. 표 3에서는 각 최적화 방법이 최소 최종 손실에 도달하는 데 사용된 타임 스텝 수와 역전파 중 반복 솔버의 수렴 비율을 보고합니다.

그래디언트가 없는 알고리즘의 경우, 타임 스텝 수는 전방향 시뮬레이션의 총 스텝 수를 계산합니다. 그래디언트 기반 방법의 경우, 역전파 스텝을 포함하기 위해 이 숫자를 두 배로 계산합니다. 실제로는 역전파가 전방향 시뮬레이션보다 훨씬 적은 시간이 걸린다는 점에 유의하십시오. 모든 예제의 전방향 시뮬레이션 및 역전파 실행에 대한 벽시계 시간(wall clock time)은 부록 A에 포함되어 있습니다. 표 2와 모든 손실 대 타임 스텝 그래프에서, 모든 무작위 시드에 대해 달성된 최소 손실 또는 최소 손실 포락선(envelope)을 보고합니다. 아래에서는 각 응용 사례를 설명하고 주요 결과를 강조합니다.

구현(Implementations): 시뮬레이터의 중추는 C++로 작성되었으며 행렬 및 벡터 연산에는 Eigen 라이브러리를 사용합니다. 각 응용 사례는 L-BFGS-B를 통해 해결하는 최적화 문제를 정의합니다. L-BFGS-B는 파라미터를 물리적으로 타당한 범위로 제한하면서 시뮬레이터의 미분 가능성을 활용할 수 있는 고전적인 그래디언트 기반 최적화 도구입니다.

표 1은 제안된 반복 솔버가 직접 솔버보다 전반적으로 빠르며, 특히 메쉬 해상도가 높아질수록 속도 향상이 더 뚜렷함을 보여줍니다. 저정밀도(1e-4) 설정에서는 최대 12배의 속도 향상을 달성했습니다.

로봇 보조 의복 착용 작업에서 B-스플라인으로 매개변수화된 로봇 궤적을 최적화할 때, 미분 가능한 시뮬레이터의 그래디언트 정보를 활용하면 기존의 그래디언트 없는 방식보다 훨씬 빠르고 정확한 최적화가 가능함을 입증했습니다.

미분 가능한 천 시뮬레이터로부터 혜택을 받을 수 있는 또 다른 연구 분야는 로봇 보조 의복 착용입니다. 미분 가능한 천 시뮬레이터가 등장하기 전까지 이러한 작업의 주류 솔루션은 대개 진화 전략, 강화 학습 또는 역동역학과 같은 그래디언트 없는 방법들이었습니다. 본 논문에서는 로봇 보조 의복 착용에서 그래디언트 활용을 입증하기 위해 '모자'(Figure 9)와 '양말'(Figure 10)이라는 두 가지 예시를 제시합니다. 두 예시 모두 목표는 운동학적 로봇 매니퓰레이터가 모자나 양말을 착용시키기 위한 최적의 궤적을 찾는 것입니다. 매니퓰레이터의 엔드 이펙터는 천 메쉬에서 미리 지정된 몇 개의 정점을 잡아 $B$-스플라인으로 매개변수화된 운동학적 궤적을 따라 당깁니다.

'모자' 예시에서는 18개, '양말' 예시에서는 36개의 자유도($DoFs$)를 가진 $B$-스플라인 매개변수를 최적화함으로써, 매니퓰레이터가 모자를 구체 위의 목표 위치에 도달할 때까지 이동시키도록 유도할 수 있습니다. '모자' 예시의 손실 함수는 마지막 타임 스텝에서 모자의 최종 위치와 미리 정의된 목표 위치 사이의 $L_2$ 거리로 정의하며, 목표 위치는 모자의 휴지 상태 형상을 구체 상단으로 이동시켜 생성합니다. '양말' 예시의 손실 함수는 양말 위에서 수동으로 선택한 몇 개의 핵심 포인트에 대해 시뮬레이션 중간과 끝에서 평가된 목표 위치와 시뮬레이션 위치 사이의 $L_2$ 거리로 정의됩니다.

그래디언트 정보를 확보한 상태에서, L-BFGS-B 최적화 도구를 실행하여 궤적 매개변수를 조정하고 그 성능을 CMA-ES 및 (1+1)-ES와 비교했습니다(Table 2 및 3). 동일한 타임 스텝 내에서 L-BFGS-B가 그래디언트 없는 베이스라인보다 훨씬 빠르게 더 나은 솔루션으로 수렴함을 확인했습니다(Figure 9 및 10). 결론적으로, 미분 가능한 천 시뮬레이터로 가능해진 L-BFGS-B의 빠른 수렴성은 그래디언트 없는 방법들에 비해 확실한 강점입니다.

회전하는 드레스의 정점 각도가 목표치인 100도에 도달하도록 옷감의 재질 파라미터를 최적화하는 역설계 사례를 소개합니다. 실험 결과, L-BFGS-B 알고리즘이 진화 전략 기반의 베이스라인보다 훨씬 적은 단계로 더 정교한 최적화 결과를 얻음을 확인했습니다.

다음으로 소개할 애플리케이션은 역설계(Inverse Design) 사례인 "Dress"입니다. 이 예제의 목적은 드레스의 동적 움직임이 특정 설계 의도를 만족하도록 옷감의 재질 파라미터를 최적화하는 것입니다.

구체적으로, 드레스가 회전한 후 원뿔 모양의 정점 각도(apex angle)가 목표 값(본 실험에서는 100도)과 일치하도록 twirl dress의 재질 파라미터를 최적화합니다. 손실 함수(loss function)는 시뮬레이션의 마지막 프레임에서 드레스 밑단(hemline)의 점들로부터 추정된 정점 각도와 목표 정점 각도에 해당하는 밑단 높이 사이의 차이로 정의됩니다.

Table 2에서 L-BFGS-B와 두 가지 ES(Evolutionary Strategies) 베이스라인의 최적화 결과를 보고하며, Figure 1에서 최적화 전후의 시뮬레이션 결과를 시각화합니다. 이전 작업들과 마찬가지로, L-BFGS-B가 더 적은 시간 단계(time steps)를 사용하면서도 더 나은 최적화 결과를 달성함을 확인할 수 있습니다.

DiffCloth 시뮬레이터의 성능, 응용 사례 및 기존 방법과의 비교를 설명하는 그림 1~13과 표 1~6의 캡션 모음입니다.

Fig 1: 우리는 건식 마찰 접촉을 포함한 미분 가능한 천 시뮬레이터를 제시하고, 10,902개의 자유도를 가진 회전 드레스 디자인을 포함한 다양한 응용 분야에서 그 효능을 입증한다.

Table 1: 다양한 격자 해상도에서 반복적 솔버(제안법)와 희소 LU 직접 솔버의 역전파 시간 및 성능 비교.

Fig 2: 접촉 조건 및 표면 기하학으로 인한 불연속성과 비매끄러움을 연구하기 위해 강체 구 위를 미끄러지는 천을 시뮬레이션한다.

Fig 3: 충돌 횟수가 시뮬레이션의 매끄러움에 미치는 영향을 연구하기 위해 네 가지 다른 수평 위치에서 천과 강체 구 사이의 충돌을 시뮬레이션한다.

Fig 4: 날아가는 냅킨. 고차원 결정 변수 최적화를 위한 그래디언트 기반 방법(L-BFGS-B)과 그래디언트가 없는 방법(CMA-ES)의 비교.

Table 2: 'Hat Controller'를 제외한 모든 예제에서 그래디언트 기반 및 그래디언트 미사용 최적화 성능 비교.

Fig 5: 보울(Bowl). Liang 등(2019)과 우리 방법의 접촉 모델을 사용한 냅킨의 운동 시퀀스 비교.

Fig 6: 바람과 경사면. 역전파에서 반복적 솔버와 직접 솔버를 비교하기 위한 두 가지 벤치마크 테스트의 운동 시퀀스.

Table 3: 각 최적화 방법의 수렴 시간 단계 및 반복적 솔버의 역전파 수렴 비율.

Fig 7: T-셔츠. 주어진 합성 운동 시퀀스를 바탕으로 천의 재질 및 바람 매개변수를 추정하는 시스템 식별 예제.

Fig 8: 구(Sphere). 천과 구 사이의 마찰 계수 μ를 추정하는 예제.

Fig 9: 모자. 조작기가 모자를 구 위로 옮기기 위한 궤적 최적화.

Fig 10: 양말. 조작기가 양말을 발 모델에 신기기 위한 궤적 최적화.

Fig 11: 깃발. 실제 세계에서 캡처한 운동 데이터를 바탕으로 디지털 트윈을 재구성하는 Real-to-Sim 예제.

Fig 12: 모자 컨트롤러. 그래디언트 기반 최적화와 PPO(강화학습)를 사용하여 학습된 폐루프 컨트롤러 비교.

Fig 13: 모자 컨트롤러 작업의 계산 그래프. 신경망 정책을 미분 가능한 시뮬레이션 파이프라인에 내장한다.

Table 4: 제안된 그래디언트 기반 최적화의 예제별 실행 시간 통계.

Table 5: T-셔츠 및 깃발 예제에 대한 모든 랜덤 시드의 상세 최적화 결과.

Table 6: 모자, 양말, 구, 드레스 예제에 대한 모든 랜덤 시드의 상세 최적화 결과.