본 논문은 소프트 로봇의 제어 및 설계를 위해 MLS-MPM 기반의 실시간 미분 가능한 물리 시뮬레이터인 ChainQueen을 제안하며, 이는 복잡한 변형체 역학에서도 정밀한 그라디언트 계산을 가능하게 합니다.

물리 시뮬레이터는 로봇의 계획 및 제어에 널리 사용되어 왔습니다. 그중에서도 미분 가능한 시뮬레이터는 최적 제어 및 경로 계획과 같은 역문제(inverse problems)를 해결하는 데 효율적인 경사 기반 최적화 알고리즘에 통합될 수 있어 특히 선호됩니다. 그러나 변형 가능한 물체(deformable objects)를 시뮬레이션하는 것은 강체 동역학에 비해 더 어렵습니다. 변형체에 내재된 물리 법칙은 더 복잡하며, 결과적으로 시스템은 수십 배 더 많은 자유도(degrees of freedom)를 갖게 되어 시뮬레이션 계산 비용이 현저히 높습니다. 물리적 설계나 제어기 파라미터에 대한 그라디언트(gradients)를 계산하는 것은 일반적으로 훨씬 더 큰 계산적 도전 과제입니다.

본 논문에서는 Moving Least Squares Material Point Method (MLS-MPM)을 기반으로 한 변형체용 실시간 미분 가능 하이브리드 Lagrangian-Eulerian 물리 시뮬레이터인 ChainQueen을 제안합니다. MLS-MPM은 접촉을 포함한 변형 가능한 물체를 시뮬레이션할 수 있으며 추론, 제어 및 공동 설계(co-design) 시스템에 원활하게 통합될 수 있습니다. 본 연구는 제안된 시뮬레이터가 전방향 시뮬레이션과 역방향 그라디언트 계산 모두에서 높은 정밀도를 달성함을 입증합니다. 우리는 약 3,000개의 결정 변수를 포함하는 문제를 포함하여 소프트 로봇을 위한 다양한 제어 작업에 이를 성공적으로 적용했습니다.

로봇 계획 및 제어 알고리즘은 예측과 최적화를 위해 물리 시뮬레이터에 의존하는 경우가 많습니다. 특히 미분 가능한 물리 시뮬레이터는 경사 기반 최적화 도구의 사용을 가능하게 하여 제어 효율성과 정밀도를 크게 향상시킵니다. 이러한 동기 부여로 인해 근사적 방법과 정확한 방법을 사용하는 미분 가능한 강체 시뮬레이터에 대한 광범위한 연구가 진행되어 왔습니다.

본 연구는 기존 강체 시뮬레이터의 한계를 넘어, 변형 가능한 물체를 실시간으로 시뮬레이션하고 미분 가능한 기능을 갖춘 ChainQueen을 제안하여 소프트 로봇의 제어 및 설계를 최적화하고자 합니다.

로봇의 계획 및 제어 알고리즘은 예측과 최적화를 위해 물리 시뮬레이터에 의존하는 경우가 많습니다. 특히, 미분 가능한 물리 시뮬레이터는 경사 기반 최적화 도구의 사용을 가능하게 하여 제어 효율성과 정밀도를 크게 향상시킵니다. 이에 자극받아 근사적 방법과 정확한 방법을 사용한 미분 가능한 강체 시뮬레이터에 대한 광범위한 연구가 진행되어 왔습니다.

하지만 변형 가능한 물체(deformable objects)에 대해서는 여전히 큰 과제가 남아 있습니다. 첫째, 변형 가능한 물체는 자유도(DoFs)가 훨씬 높기 때문에 운동 시뮬레이션 속도가 느립니다. 둘째, 기하학적 구조가 변하고 자기 충돌 가능성이 있어 접촉 감지 및 해결이 어렵습니다. 셋째, 접촉이 존재하는 상황에서 기울기(gradient)를 효율적으로 계산하는 것이 어렵습니다. 결과적으로, 현재의 소프트 물체 시뮬레이션 방법은 최적 제어나 경로 계획과 같은 역문제를 해결하는 데 효과적으로 사용될 수 없습니다.

본 논문에서는 이동 최소자승 물질점 방법(MLS-MPM)을 기반으로 한 변형 가능한 물체용 실시간 미분 가능 물리 시뮬레이터인 ChainQueen을 소개합니다. 물질점 방법(MPM)은 시뮬레이션을 위해 입자(particles)와 격자 노드(grid nodes)를 모두 사용하는 하이브리드 라그랑주-오일러 방법입니다. MLS-MPM은 이동 최소자승 힘 이산화를 사용하여 기존 MPM을 가속화하고 단순화합니다. ChainQueen에서는 상태 및 모델 파라미터 모두에 대해 완전 미분 가능한 최초의 MLS-MPM 시뮬레이터를 도입했으며, 순방향 시뮬레이션과 역전파 모두 GPU에서 효율적으로 실행됩니다. 우리는 전체 시뮬레이션에 대한 기울기를 효율적으로 계산하는 능력을 입증했습니다. 이를 통해 최적화 기반 폐루프 제어기 설계, 궤적 최적화, 로봇 기하학·재료·제어의 공동 설계(co-design) 등 소프트 로보틱스를 위한 다양한 혁신적 응용이 가능해집니다.

입자-격자 기반 하이브리드 시뮬레이터로서 MPM은 액체, 과립 재료, 눈이나 인체 조직 같은 탄소성 재료 등 다양한 상태의 물체를 시뮬레이션합니다. ChainQueen은 소프트 로보틱스를 위한 탄성 재료에 집중합니다. 이 시스템은 완전 미분 가능하며 기존 최신 기술보다 4~9배 빠릅니다. 수치 및 실험적 검증을 통해 ChainQueen이 순방향 시뮬레이션과 역방향 기울기 계산 모두에서 높은 정밀도를 달성함을 확인했습니다.

ChainQueen의 미분 가능성은 제어 및 시스템 식별을 위한 경사 기반 최적화를 지원합니다. 제어기 파라미터에 대해 경사 하강법을 수행함으로써, 우리 시뮬레이터는 주어진 목표에 따라 3D 소프트 워커 제어기를 최적화하는 것과 같은 다양한 복잡한 역문제를 해결할 수 있습니다. 마찬가지로 물리적 설계 파라미터에 대한 경사 하강법을 통해 물체의 물리적 특성(예: 질량, 밀도, 영률)을 추론하고 원하는 작업에 맞게 설계를 최적화할 수 있습니다.

ChainQueen의 성능 벤치마킹과 다양한 역문제 해결 능력을 보여주는 것 외에도, 우리는 사용자가 저수준의 세부 사항을 이해하지 않고도 자신만의 소프트 로봇 시스템을 개발할 수 있도록 고수준 파이썬 스크립트 인터페이스를 구축했습니다. 우리는 코드와 데이터를 오픈 소스로 공개하여 로보틱스 커뮤니티에 기여하고자 합니다.

물질 포인트 방법(MPM)의 물리적 정확성과 병렬화 효율성, 대변형 처리 능력을 강조하며, 이를 소프트 로보틱스에 적용한 최초의 미분 가능한 시뮬레이터인 ChainQueen의 배경을 설명합니다.

물질 포인트 방법(MPM)은 고체 역학과 컴퓨터 그래픽스 관점 모두에서 광범위하게 발전해 왔습니다. 입자(Lagrangian)와 격자(Eulerian)를 결합한 하이브리드 방법으로서, MPM은 눈, 모래, 비뉴턴 유체, 천, 고체-유체 결합, 강체 결합 및 절단 시뮬레이션 등에서 그 다재다능함을 입증했습니다. 또한 관심 영역에 계산 자원을 집중시키기 위한 적응형 MPM 스킴도 제안된 바 있습니다.

소프트 로보틱스에 MPM을 사용하는 데에는 여러 이점이 있습니다. 첫째, MPM은 물리적으로 정확한 이산화 방법이며 보존 법칙의 약형(weak form)을 통해 유도될 수 있습니다. 이러한 물리 기반 접근 방식은 시뮬레이션을 실제 실험과 일치시키기 용이하게 합니다. 둘째, MPM은 현대 하드웨어 아키텍처에서 병렬화하기에 적합합니다. 본 연구와 밀접한 관련이 있는 Gao 등/2018/GPU-MPM의 고성능 GPU 구현은 많은 최적화 기법을 제공하지만, 미분이 불가능하여 로보틱스 및 학습의 역문제를 해결하는 데 비효율적입니다. 셋째, MPM은 소프트 로보틱스에서 흔히 발생하지만 격자 기반 방법(mesh-based approaches)에서는 계산 비용 문제로 자주 생략되는 대변형 및 자가 충돌을 자연스럽게 처리합니다. 마지막으로, 소프트 물체의 충돌을 포함한 연속체 동역학은 매끄러운 위치 에너지에 의해 지배되므로 전체 시스템을 미분 가능하게 만듭니다.

본 논문에서 제안하는 ChainQueen은 완전 미분 가능한 시뮬레이터이며, MPM을 소프트 로보틱스에 적용한 최초의 사례입니다.

기존 연구들이 신경망을 이용해 물리 현상을 근사적으로 모사했던 것과 달리, ChainQueen은 연속체 역학 기반의 MLS-MPM 수식을 직접 미분하여 물리적 정확도와 연산 효율성을 모두 확보했습니다.

최근 계획 및 제어를 위한 미분 가능한 시뮬레이터 구축에 대한 관심이 높아지고 있습니다. 강체(Rigid bodies)의 경우, Pari-Ahmetaj/2018/Approximate-Physics 등은 신경망을 사용하여 객체 간의 상호작용을 근사할 것을 제안했으며, 이후 제어 분야에서의 활용 가능성이 탐구되었습니다. 또한 근사 해석적 미분 가능 강체 시뮬레이터들도 제안되어 조작 및 계획 작업에 배치되었습니다.

변형 가능한 물체(Deformable objects)를 위한 미분 가능한 시뮬레이터는 상대적으로 덜 연구되었습니다. 최근 Schenck/2018/SPNets는 위치 기반 유체의 미분 가능한 시뮬레이션을 위한 SPNets를 제안했습니다. 이 방법은 입자 간의 상호작용을 신경망 연산으로 코딩하며, PyTorch의 자동 미분을 통해 미분 가능성을 확보합니다. 또한 신경망을 이용한 계층적 입자 기반 객체 표현 방식도 제안된 바 있습니다.

물리 법칙을 신경망으로 근사하는 대신, ChainQueen은 연속체 역학에서 유도된 물리적으로 견고한 이산화 스킴인 MLS-MPM을 직접 미분합니다. 요약하자면, 본 시뮬레이터는 더 다양한 종류의 객체에 사용할 수 있으며, 물리적으로 더 타당하고 연산 속도가 빠릅니다.

MLS-MPM을 기반으로 입자와 격자를 결합한 하이브리드 시뮬레이션 루프를 구축하고, 모든 과정을 미분 가능하게 설계하여 효율적인 역전파와 실시간 성능을 구현했습니다.

본 연구에서는 연속체 역학(continuum mechanics)을 이산화하기 위해 이동 최소자승 물질점 방법(MLS-MPM)을 사용하며, 이는 다음 두 가지 방정식에 의해 제어됩니다.

MLS-MPM은 입자와 격자 노드를 모두 사용하는 하이브리드 Lagrangian-Eulerian 방법입니다. 시뮬레이션 상태 정보는 이 두 표현 사이를 왕복하며 전달됩니다. 시뮬레이션 주기는 다음 세 단계로 구성됩니다.

1) 입자-격자 전달 (P2G): 입자는 APIC(Affine Particle-in-Cell) 방법과 이동 최소자승 힘 이산화 기법을 사용하여 질량 $m_p$, 운동량 $(mv)_p$, 응력에 의한 충격량을 인접한 격자 노드에 전달합니다.

2) 격자 연산: 격자 운동량을 격자 질량으로 나누어 격자 속도 $v_i$로 정규화합니다. 이 과정에서 입자 간의 충돌이 자동으로 처리됩니다.

3) 격자-입자 전달 (G2P): 입자는 업데이트된 속도, 국부 속도장 그래디언트 $C_p$, 위치 $x_p$를 수집하며, 변형 그래디언트 $F_p$와 같은 구성 모델 속성들이 업데이트됩니다.

소프트 로봇 공학을 위해 추가적인 구동(actuation) 모델을 도입했습니다. 이는 입자를 팽창시키거나 늘리는 추가적인 코시 응력(Cauchy stress) $A_p$를 통해 구현됩니다. ChainQueen은 본질적으로 미분 가능하며, 연쇄 법칙(chain rule)을 통해 최종 상태에서 초기 상태 및 제어 파라미터까지의 그래디언트를 효율적으로 계산할 수 있습니다.

우리의 CUDA 기반 고성능 구현은 병렬 처리와 데이터 지역성에 최적화되어 있어, TensorFlow 참조 구현체보다 132배 빠른 속도를 보여줍니다. 이는 TensorFlow의 런타임 오버헤드와 물리 시뮬레이션 특유의 불규칙한 메모리 액세스 패턴 때문입니다.

이 섹션에서는 2D 및 3D 환경에서 ChainQueen의 효율성과 정확성을 검증하며, 특히 CUDA 기반 구현이 NVIDIA Flex 및 TensorFlow 버전보다 뛰어난 성능을 보임을 입증합니다.

이 섹션에서는 2D와 3D 모두에서 우리 시스템의 효율성과 정확성에 대한 종합적인 연구를 수행한다.

분석의 용이성과 재현성을 보장하기 위해 복잡한 기하학적 구조 대신 단순한 낙하하는 입방체를 성능 벤치마킹에 사용한다. 우리는 변형 가능한 물체를 시뮬레이션할 수 있는 대중적인 PBD(Position Based Dynamics) 물리 시뮬레이터인 NVIDIA Flex와 CUDA 시뮬레이터의 성능을 비교 분석한다.

PBD와 MLS-MPM 모두 높은 강성을 확보하기 위해 서브스테핑(substepping) 반복이 필요하다는 점에 유의해야 한다. 공정한 비교를 위해 ChainQueen이 시각적으로 Flex와 유사한 결과를 내도록 영률 $E$, 포아송 비 $ u$, 그리고 밀도 $ ho$를 설정했다. Flex에서는 프레임당 2단계, 단계당 4번의 반복을 사용했다. PBD에는 영률과 같이 명시적으로 정의된 물리량이 없기 때문에 정확히 동일한 파라미터를 설정하는 것은 불가능하다는 점을 참고하라.

정량적 성능은 표 2에 요약되어 있다. 입자 수가 동일할 때 우리의 CUDA 시뮬레이터는 Flex보다 더 빠른 속도를 제공한다. 또한 TensorFlow 구현체는 과도한 런타임 오버헤드로 인해 훨씬 느리다는 점에 주목할 가치가 있다.

성능 벤치마킹을 위해 단순한 낙하 큐브 모델을 사용하여 NVIDIA Flex와 성능을 비교한 결과, CUDA 기반의 ChainQueen이 동일 입자 수에서 더 뛰어난 속도를 보였으며 TensorFlow 구현체 대비 압도적인 효율성을 입증했습니다.

분석의 용이성과 재현성을 보장하기 위해, 복잡한 기하학적 구조 대신 단순한 낙하하는 큐브(falling cube)를 성능 벤치마킹에 사용합니다. 우리는 변형 가능한 물체를 시뮬레이션할 수 있는 대중적인 PBD(Position Based Dynamics) 물리 시뮬레이터인 NVIDIA/2015/Flex와 CUDA 시뮬레이터의 성능을 비교 분석합니다.

PBD와 MLS-MPM 모두 높은 강성을 확보하기 위해 서브스텝(substepping) 반복이 필요하다는 점에 유의해야 합니다. 공정한 비교를 위해 ChainQueen이 시각적으로 Flex와 유사한 결과를 내도록 영률(Young’s modulus) $E$, 포아송 비(Poisson’s ratio) $\nu$, 그리고 밀도 $\rho$를 설정했습니다. Flex에서는 프레임당 2단계(steps)와 단계당 4번의 반복(iterations)을 사용했습니다. PBD에는 영률과 같이 명시적으로 정의된 물리량이 없기 때문에 정확히 동일한 파라미터를 설정하는 것은 불가능하다는 점에 유의하십시오.

정량적인 성능은 표 2에 요약되어 있습니다. 입자 수가 동일할 때 우리의 CUDA 시뮬레이터는 Flex보다 더 빠른 속도를 제공합니다. 또한 TensorFlow 구현체는 과도한 런타임 오버헤드로 인해 훨씬 느리다는 점에 주목할 가치가 있습니다.

ChainQueen 시뮬레이터의 핵심 강점인 신속한 그라디언트 계산 능력을 활용하여, 물리적 파라미터 추론, 소프트 로봇 제어 및 구조-제어 공동 설계 작업에서 경사 기반 최적화의 효율성을 입증합니다.

우리 시뮬레이터의 가장 매력적인 특징은 빠르게 계산 가능한 그라디언트의 존재이며, 이는 훨씬 더 효율적인 경사 기반 최적화 알고리즘의 사용을 가능하게 합니다. 이 섹션에서는 물리적 추론, 소프트 로보틱스 제어, 그리고 로봇 팔의 공동 설계(co-design)를 포함한 다양한 최적화 작업에서 본 미분 가능한 시뮬레이터의 효과를 보여줍니다.

ChainQueen은 관측된 움직임 데이터를 바탕으로 경사 하강법을 수행하여 물체의 밀도와 같은 물리적 파라미터를 정확히 추론할 수 있으며, 이는 로봇 공학의 시스템 식별 작업에 매우 유용합니다.

ChainQueen은 관측된 움직임이 주어졌을 때 물리적 시스템의 특성을 추론하는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 두 개의 충돌하는 탄성 공의 상대적 밀도를 추론하기 위해 경사 하강법(gradient descent)을 수행할 수 있습니다.

공 A가 오른쪽으로 이동하여 공 B를 치고, 공 B가 목적지 C에 도달하는 상황에서, 경사 기반 최적화는 공 A의 상대적 밀도가 $2.26$임을 추론해냅니다. 이는 공 B를 C로 밀어내기에 적절한 운동량을 생성하는 값입니다. 이러한 능력은 시스템 식별(system identification)과 같은 실제 로봇 작업에 매우 유용합니다.

소프트 로봇의 회귀 기반 제어기를 최적화하여 안정적인 보행 패턴을 효율적으로 학습할 수 있으며, ChainQueen의 경사 기반 방식이 기존 강화학습(PPO)보다 수렴 속도와 효율성 면에서 압도적으로 우수함을 입증했습니다.

우리는 소프트 로봇을 위한 회귀 기반 제어기를 최적화하고 안정적인 보행(gait)을 효율적으로 찾아낼 수 있습니다. 제어기는 상태 벡터 $z$를 입력으로 받으며, 여기에는 목표 위치, 질량 중심(center of mass) 위치, 그리고 각 소프트 구성 요소의 속도가 포함됩니다. 본 연구의 예시에서는 최대 16개의 액추에이터를 위한 구동 벡터 $a$가 매 타임 스텝마다 제어기에 의해 생성됩니다. 최적화 과정에서 우리는 변수 $W$와 $b$에 대해 경사 하강법(gradient descent)을 수행합니다.

우리는 2D 이족 보행 로봇(Figure 4), 로봇 손가락, 그리고 3D 사족 보행 로봇(Figure 6), 크롤러, 로봇 팔을 포함한 일련의 실험을 설계했습니다. 경사 기반 최적화 도구는 단 수십에서 수백 번의 반복만으로 원하는 제어기를 성공적으로 계산해냈습니다.

경사 기반 접근법의 장점을 강조하기 위해, 최신 강화학습 알고리즘인 PPO Schulman/2017/Proximal Policy Optimization Algorithms와 제어 방법을 비교했습니다. PPO는 정책 최적화를 위해 보상 함수의 샘플링된 경사에 의존하는 액터-크리틱(actor-critic) 방법입니다. 이러한 샘플링 기반 접근법은 모델 프리(model-free) 방식으로, 보상의 경사에는 의존하지만 물리 모델 자체의 미분 정보는 업데이트에 활용하지 못합니다.

비교를 위해 목표 방향으로 투영된 속도를 보상으로 사용했습니다. Figure 7의 정량적 결과에서 볼 수 있듯이, ChainQueen으로 최적화된 2D 워커 제어기는 20분 이내에 정상 작동하기 시작했습니다. 반면, PPO로 학습된 정책은 4시간 이상의 학습 후에도 여전히 무작위적인 동작을 선택했습니다. 이는 특정 소프트 로봇 이동 작업에서 우리의 경사 기반 방법

본 논문은 소프트 로봇의 추론, 제어 및 공동 설계를 지원하는 미분 가능한 시뮬레이터 ChainQueen을 제안했습니다. 향후 연구로 강체 시뮬레이션과의 결합을 통해 매우 단단한 재질까지 효율적으로 처리하는 방향을 제시합니다.

본 연구에서는 소프트 로보틱스를 위한 미분 가능한 시뮬레이터인 ChainQueen을 제시하였으며, 이를 추론, 제어 및 공동 설계(co-design)에 어떻게 활용할 수 있는지 입증하였습니다. ChainQueen은 소프트 로봇의 개발 속도를 가속화할 잠재력을 가지고 있습니다. 또한, 우리는 ChainQueen을 위한 고성능 GPU 구현체를 개발하였으며, 이를 오픈 소스로 공개할 계획입니다.

Figure 8은 공동 설계와 고정된 로봇 팔 설계 간의 목표 도달 과제 수렴도를 비교하여 보여줍니다. 고정된 설계는 어느 정도 진전은 있지만 과제를 완수하지 못하는 반면, 공동 설계를 통하면 과제를 완수할 수 있을 뿐만 아니라 구동 비용도 더 낮아집니다. 여기서 제약 조건 위반(Constraint violation)은 말단 장치와 목표 지점 사이의 거리와 입자들의 평균 제곱 속도라는 두 가지 제약 조건의 노름(norm)을 의미합니다.

흥미로운 향후 연구 방향 중 하나는 소프트 물체 시뮬레이션을 강체 시뮬레이션과 결합하는 것입니다. 기존 연구에 따르면, 명시적 시간 적분(explicit time integration)을 위한 시간 간격 $\Delta t$의 한계는 다음과 같습니다.

이는 강체와 같이 매우 단단한 재질(E가 매우 큰 경우)의 경우, 매우 제한적인(작은) $\Delta t$만 사용할 수 있음

경계 조건에서의 마찰 투영 그라디언트 계산식을 정의하고, CUDA 기반 고성능 구현을 통해 기존 TensorFlow 대비 132배의 속도 향상을 달성한 완전히 미분 가능한 MLS-MPM 시뮬레이터 ChainQueen의 구조를 설명합니다.

경계 조건이 존재하는 경우, 격자 속도 $v_i$에 대해 다음과 같은 관계식을 가집니다.

Figure 1은 MLS-MPM의 한 타임 스텝을 보여줍니다. 상단 화살표는 전방향 시뮬레이션을, 하단 화살표는 역방향 전파를 나타냅니다. P2G(Particle-to-Grid) 과정에는 입자 구성을 기반으로 구동력을 생성하는 제어기가 포함됩니다. 본 논문에서는 입자를 팽창시키거나 늘리는 구동 코시 응력(Actuation Cauchy Stress) $A_p$를 도입하여 소프트 로봇 시뮬레이션을 지원합니다.

ChainQueen은 상태 및 모델 파라미터 모두에 대해 완전히 미분 가능한 최초의 MLS-MPM 시뮬레이터입니다. 모든 시뮬레이션 상태를 memo 객체에 저장함으로써, 최종 상태에서 초기 상태 및 제어 파라미터까지의 그라디언트를 효율적으로 계산할 수 있습니다.

CUDA를 이용한 고성능 구현은 Taichi 오픈소스 라이브러리를 기반으로 하며, TensorFlow 참조 구현체보다 132배 빠른 속도를 제공합니다. 이는 TensorFlow가 딥러닝의 규칙적인 데이터 패턴에 최적화된 반면, ChainQueen의 CUDA 구현은 물리 시뮬레이션 특유의 병렬성과 지역성에 맞춰 최적화되었기 때문입니다.

이 논문은 미분 가능한 시뮬레이터인 ChainQueen의 구조와 성능을 설명합니다. MLS-MPM 기반의 하이브리드 방식을 통해 입자와 격자 간의 상호작용을 계산하며, 전방향 및 역방향 시뮬레이션을 모두 지원합니다. 다양한 벤치마크와 실제 공압 로봇 실험을 통해 시스템의 효율성, 정확성, 그리고 제어기 및 구조 최적화(Co-design)에서의 우수성을 입증합니다.

Fig 1: 혼합 방식인 MLS-MPM의 한 타임 스텝. 위쪽 화살표는 전방향 시뮬레이션을, 아래쪽 화살표는 역전파를 나타낸다. 입자 구성을 기반으로 구동을 생성하기 위해 입자-대-격자(P2G) 과정에 제어기가 내장된다. 소프트 로보틱스를 위해 추가적인 코시 응력을 통해 입자를 팽창시키는 구동 모델을 도입했다. 이 프레임워크는 자연스럽게 미분 가능하며, 고성능 CUDA 구현은 텐서플로 버전보다 132배 빠르다.

Table II: NVIDIA GTX 1080 Ti GPU에서의 성능 비교. F는 전방향 시뮬레이션, B는 역방향 미분을 의미한다. TF는 텐서플로 구현을 나타낸다. CUDA 구현은 병렬성과 지역성에 최적화되어 Flex 및 텐서플로 대비 높은 성능을 제공한다.

Fig 2: 왼쪽: "메모" 객체는 위치, 속도, 변형 구배 등 모든 타임 스텝 상태 정보와 초기 상태 및 정책 파라미터를 포함한 단일 시뮬레이션 실행의 모든 정보를 담고 있다. 오른쪽: 기호 미분을 얻고 메모에서 그라디언트를 평가하여 경사 하강법에 사용하는 코드 샘플.

Table III: 시뮬레이션 및 그라디언트 정밀도의 상대 오차. 빈 값은 충돌이 발생하기에 시간이 너무 짧은 경우이다. 해석적(A1, A2) 및 수치적(B, C) 테스트 케이스 모두에서 최대 1000 스텝까지 안정적인 그라디언트를 보여준다.

Fig 3: 공압 다리에 대한 실험. 행 (A, B)는 15cm 높이에서 떨어뜨린 바운싱 실험의 영상과 시뮬레이터 결과이다. 행 (C, D)는 구동 테스트 결과이다.

Fig 4: 600번의 시뮬레이션 스텝 후 최대 거리에 도달하도록 경사 하강법으로 최적화된 제어기를 가진 소프트 2D 워커. 워커는 수직 방향으로 신축 가능한 4개의 액추에이터를 가지고 있다.

Fig 5: 암 스윙 작업의 최종 포즈. 밝은 색상은 더 단단한 영역을 나타낸다. (e) 공동 최적화된 암은 목표에 완전히 도달할 수 있으며, 고정 강도 설계보다 구동 비용이 낮다. 최적화된 가변 강도는 굽힘 바깥쪽은 낮고 안쪽은 높게 형성되어 더 잘 구부러지게 한다.

Fig 6: 3D 사족 보행 로봇. 추가 결과는 보충 영상에서 확인할 수 있다.

Fig 7: 2D 핑거 작업에서 PPO를 이용한 무미분 최적화와 ChainQueen 기반의 경사 하강법 비교. 정확한 그라디언트 정보 덕분에 단순한 최적화 알고리즘으로도 최신 강화학습 알고리즘보다 최적화 속도 면에서 10배 이상 빠르다.

Fig 8: 공동 설계와 고정된 암 설계 간의 암 도달 작업 수렴도 비교. 고정 설계는 작업을 완료하지 못하는 반면, 공동 설계는 작업을 완료하며 구동 비용도 더 낮다. 제약 조건 위반은 목표 거리와 입자의 평균 제곱 속도를 기준으로 측정되었다.