본 논문은 양방향 유동맵(bidirectional flow maps)에 기반한 미분 가능 유체 시뮬레이션을 위한 새로운 어드조인트 솔버(adjoint solver)를 제시합니다. 저희의 핵심 관찰은 순방향 유체 솔버와 그에 대응하는 역방향 어드조인트 솔버가 순방향 시뮬레이션과 동일한 유동맵(flow map)을 공유한다는 것입니다. 순방향 과정(forward pass)에서 이 맵은 초기 프레임에서 현재 프레임으로 유체 임펄스 변수를 전달하여 와류 동역학을 시뮬레이션합니다. 역방향 과정(backward pass)에서는 동일한 맵이 현재 프레임에서 초기 프레임으로 어드조인트 변수를 전파하여 그래디언트를 계산합니다. 이 공유된 장거리 맵(shared long-range map) 덕분에 그래디언트 계산의 정확도가 유동맵 구성의 개선으로부터 직접적인 혜택을 받을 수 있습니다.

이러한 통찰을 바탕으로, 저희는 유동맵 상에서 직접 어드조인트 방정식을 푸는 새로운 어드조인트 솔버를 도입하여, 기존 어드조인트 방법에서 요구되었던 중간 수치 단계를 미분하거나 중간 변수를 저장할 필요 없이 비압축성 유동의 장거리의 정확한 미분을 가능하게 합니다. 효율성을 더욱 향상시키기 위해, 저희는 어드조인트 변수를 전개하기 위한 장-단기 시-공간 희소 유동맵 표현(long-short time-sparse flow map representation)을 제안합니다. 저희의 접근 방식은 메모리 사용량이 낮아 $192^3$ 해상도에서 6.53GB의 데이터만 필요로 하면서도 와도 추적에서 높은 정확도를 보존하여, 와류 동역학의 정밀한 식별, 예측 및 제어가 필요한 새로운 미분 가능 시뮬레이션 작업을 가능하게 합니다.

동적 유체 시스템을 정확하게 미분하는 것, 특히 긴 시간 범위에 걸쳐 유체 변수의 도함수를 계산하는 것은 컴퓨터 그래픽스와 계산 물리 분야 모두에서 근본적인 도전 과제로 남아있습니다.

주된 어려움은 유체의 내재적인 유동 특성에서 비롯됩니다: 더 제한된 구성을 가진 고체 시스템과 달리, 유체 시스템은 물리 법칙에 따라 공간과 시간 위에서 자유롭게 진화하며, 이는 고차원적이고 지속적으로 변형되는 상태 공간을 만들어내어 역방향 미분 과정을 상당히 복잡하게 만듭니다. 시뮬레이션이 더 긴 시간(순방향이든 역방향이든)에 걸쳐 진행됨에 따라, 각 타임스텝에서 수치적 오류가 누적되어 그래디언트 계산의 정확도를 더욱 저하시키고, 장기적인 도함수 추정을 점점 더 신뢰할 수 없게 만듭니다.

컴퓨터 그래픽스와 계산 물리 분야 모두에서 나비에-스토크스 방정식에 의해 지배되는 유체 시스템을 미분하기 위해 두 가지 주류 접근법이 개발되었습니다. 한 종류의 방법은 순방향 시뮬레이션에 사용된 이산 수치 기법을 직접 미분합니다. 대표적인 예는 McNamara 등/2004/Fluid control의 선구적인 연구로, 순방향 과정에서 고전적인 이류-투영 기법(Stam/1999/Stable fluids)을 사용하고, 투영을 설명하기 위해 애드조인트 시스템이 해결되는 이류 및 투영 단계를 순차적으로 미분하여 그래디언트를 계산합니다. 이 방법은 그래픽스 커뮤니티 내에서 매우 성공적이었으며, 상당한 양의 후속 연구(Holl과 Thuerey/2024/ΦFlow, Li 등/2024c/NeuralFluid, Takahashi 등/2021/Differentiable smoke 참조)에 영감을 주었습니다. 이 접근법은 순방향 솔버에서 사용된 이산 공식을 직접 대상으로 하므로, 계산된 그래디언트가 실제 시뮬레이션 단계와 완전히 일치함을 보장하며, 이는 제어, 애니메이션 또는 디자인 문제 등에서 최적화 과정을 안내하기 위해 그래디언트 정보를 사용하는 데 중요합니다.

다른 종류의 방법은 연속적인 지배 방정식 수준에서 애드조인트 시스템을 해석적으로 유도한 후, 결과로 나온 애드조인트 편미분방정식(PDE)을 이산화합니다. 이러한 접근법은 역 문제를 해결하기 위해 계산 유체 역학에서 널리 채택되어 왔습니다(Gałecki와 Szumbarski/2022/Adjoint-based optimal control, Stück/2012/Adjoint method 참조). 그러나 이산 애드조인트 해가 이산 순방향 시뮬레이션의 도함수에 정확하게 대응하도록 보장하기 위해, 이러한 방법들은 종종 이류 기법과 공간 연산자에서 고차 이산화에 의존하며, 이는 계산 효율성과 확장성이 중요한 시각 컴퓨팅 시나리오에서 실용성을 제한합니다.

우리는 미분 가능한 비압축성 유동 시뮬레이션을 위한 기존 방법들의 정확도와 효율성을 모두 개선하는 새로운 애드조인트 솔버를 제안합니다. 우리의 접근법은 장거리 양방향 유동 맵 개념에 기반을 두고 있으며, 이는 최근 와류 동역학이 지배하는 광범위한 유체 시스템 및 그 다중물리 커플링을 시뮬레이션하기 위한 효과적인 모델링 프레임워크로 부상했습니다(Chen 등/2024b/Solid-Fluid Interaction, Deng 등/2023b/Neural Flow Maps, Li 등/2024b/Particle-Laden Fluid, Zhou 등/2024/Particle Flow Map 등 예시 참조). 유동 맵 방법의 핵심 아이디어는 초기 시간과 현재 시간 사이에 대응하는 공간적 위치 간에 물리량을 정확하게 수송하는 매핑을 구성하는 것입니다. "양방향"이라는 용어는 시간을 따라 순방향과 역방향으로 양을 수송하는 능력을 의미하며, 순방향 및 역방향 맵은 일관되고 시간적으로 대칭적인 쌍을 형성합니다. 우리 연구의 기초가 되는 핵심 관찰은 원래 순방향 시뮬레이션의 정확도를 높이기 위해 도입된 이 양방향 유동 맵이 역방향 애드조인트 과정을 지원하기 위해 자연스럽게 용도가 변경될 수 있다는 것입니다. 순방향 및 역방향 과정 모두에서 동일한 유동 맵을 공유하면, 유동 맵 기반 공식의 입증된 강점인 확장된 시간 간격에 걸쳐 유체 양과 그 애드조인트의 시간적으로 대칭적인 수송이 가능해집니다. 이러한 정확성을 활용하여, 우리 방법은 개별적인 수치 단계를 미분할 필요성을 제거하여 이산 미분과 관련된 높은 메모리 및 계산 오버헤드를 피하고, 대신 향상된 확장성과 정밀도로 연속적인 애드조인트 편미분방정식의 직접적인 해를 가능하게 합니다.

이 아이디어에 동기를 부여받아, 우리는 비압축성 유동 시스템의 장거리, 정확한 미분을 가능하게 하기 위해 유동 맵 이론에 기반한 새로운 애드조인트 솔버를 개발했습니다. 우리 시스템은 세 가지 핵심 구성 요소로 이루어집니다: (1) 그리드에 정렬된 프레임 시퀀스에 걸쳐 이산화된 양방향 유동 맵에 기반한 순방향 비압축성 유체 솔버; (2) 순방향 과정과 동일한 유동 맵을 사용하여 애드조인트 방정식을 푸는 역방향 애드조인트 솔버; 그리고 (3) 정확도를 희생하지 않으면서 계산 비용을 줄이기 위한 장-단기 시간-희소 유동 맵 표현에 기반한 가속 전략. 순방향 및 역방향 솔버는 동일한 그리드 기반 양방향 유동 맵을 공유할 뿐만 아니라, 각각 반대 시간 방향을 따라 유체 양과 그 애드조인트를 진화시키기 위해 동일한 수치 기법을 적용합니다.

미분 가능한 유체 시뮬레이션(Differentiable Fluid Simulation). 컴퓨터 그래픽스에서의 미분 가능한 유체 시뮬레이션은 일반적으로 이산화된 순방향 시뮬레이션을 미분하여 그래디언트를 계산합니다. Treuille et al. [2003] (Ref)과 McNamara et al. [2004] (Ref)의 선구적인 연구들은 Stam [1999] (Base)의 이산화된 이류-투영 유체 시뮬레이션 방법을 미분했으며, 이는 Holl et al. [2020], Holl and Thuerey [2024] (VS), Li et al. [2024c], Pan and Manocha [2017], Takahashi et al. [2021] 등 일련의 후속 연구에 영감을 주었습니다. 이전 연구들은 또한 평활 입자 동역학(smoothed-particle hydrodynamics, SPH) Li et al. [2023b], 축소 모드 유체(reduced-mode fluids) Chen et al. [2024a], 그리고 격자-볼츠만 방법(lattice-boltzmann method, LBM) Ataei and Salehipour [2024] (VS)을 미분하는 것을 연구해왔습니다. 이러한 기법들은 유체 제어 및 최적화의 발전을 가능하게 했지만, 장기 시뮬레이션에 적용될 때 정확도가 제한되거나 메모리 비용이 높은 문제를 겪을 수 있습니다. 대조적으로, 저희의 연구는 이산화된 유체 시뮬레이터를 미분하는 것이 아니라 나비에-스토크스 방정식의 연속적인 어드조인트 PDE를 직접 이산화하여, 어드조인트 방정식에 대한 더 정확한 수치 해를 가능하게 합니다.

어드조인트 방법(Adjoint Methods). 어드조인트 방법은 PDE 제약 최적화에서 그래디언트를 계산하기 위한 표준적인 수학적 도구입니다. 계산 유체 역학(CFD) 연구에서는 일반적으로 이를 적용하여 어드조인트 나비에-스토크스 방정식을 유도하며Giles et al. [2003] (Ref), Giles and Pierce [2000], Jameson [1988], Stück [2012] (Base), 역시간 전개를 통해 민감도 분석을 가능하게 합니다. 유체를 넘어서, 어드조인트 공식은 광범위한 미분 가능한 물리 프레임워크의 기반을 이루며, 여기서 물리 시스템의 그래디언트는 역설계, 제어 및 최적화에 활용됩니다. 응용 분야는 탄성 재료 Du et al. [2021], Geilinger et al. [2020], Hu et al. [2019b], Qiao et al. [2021a], 직물 시뮬레이션 Li et al. [2022], Qiao et al. [2020], 접촉 및 충돌 Huang et al. [2024a,b], 자기 셸 Chen et al. [2022], 그리고 위상 최적화 Feng et al. [2023] (Base), Liu et al. [2018], Sigmund [2001], Zhu et al. [2017]에 걸쳐 있습니다. 이러한 미분 가능한 물리 시스템은 로봇 설계 Gjoka et al. [2024] (VS), Ma et al. [2021], 표면 최적화 He et al. [2024] (VS), Mehta et al. [2022], Montes Maestre et al. [2023] (Base), 파라미터 식별 Hahn et al. [2019], Li et al. [2023a], Ma et al. [2022], 미세구조 발견 Huang et al. [2024a], Sigmund [2001], 그리고 정책 학습 Huang et al. [2021], Li et al. [2018], Qiao et al. [2021b], Zhou et al. [2023] (Base)을 포함한 다양한 응용을 가능하게 하며, 일반적으로 Adam [Kingma 2014]이나 LBFGS [Nocedal and Wright 1999]와 같은 그래디언트 기반 최적화기를 사용합니다.

플로우 맵 방법(Flow Map Methods). 플로우 맵 방법은 Wiggert and Wylie [1976]의 특성 매핑 방법(method of characteristic mapping, MCM)에 그 기원을 두고 있으며, 이후 컴퓨터 그래픽스에서 Tessendorf and Pelfrey [2011]와 Qu et al. [2019]에 의해 발전되었습니다. 양방향 맵 표현에 대한 최근의 발전에는 신경망 기반 저장소 압축 Deng et al. [2023b], 버퍼 없는 오일러리안 표현 Li et al. [2025b], 그리고 입자 플로우 맵 방법(particle flow map method) Chen et al. [2025] (Base), Li et al. [2024b, 2025a], Wang et al. [2025] (Base), Zhou et al. [2024] (VS)이 포함되며, 이는 정확도를 더욱 향상시켰습니다. 게이지 기반 유체 공식 Buttke [1992], Cortez [1996]은 다양한 응용 Feng et al. [2022], Li et al. [2024a], Nabizadeh et al. [2022]과 함께 탐구되었습니다. 정확도 이점에도 불구하고, 플로우 맵 방법은 높은 계산 복잡도로 어려움을 겪으며, 전통적인 오일러리안 플로우 맵(Eulerian flow map, EFM) 방법 Deng et al. [2023b]은 $O(n^2)$의 플로우 맵 전개 비용을 필요로 했으나, 최근 시간-희소 접근법 Sun et al. [2025] (Base)에 의해 해결되었습니다.

유체 방정식. 우리는 유체 시뮬레이션을 위해 비압축성 나비에-스토크스 방정식과 수동장의 이류에 초점을 맞춥니다:

여기서 $p$, $\mathbf{f}$, $\nu = \mu/\rho$는 각각 압력장, 외력, 동점성 계수를 나타냅니다.

스칼라장 $\xi$는 연기 밀도나 색상과 같이 유체에 의해 이류되는 수동적 물리량 필드를 나타냅니다.

임의의 시작 시간 $s' \ge s$에서의 속도장 $\mathbf{u}_{s'}$와 수동장 $\xi_{s'}$가 주어지면, 방정식 1은 잘 정의된 경계 조건 하에서 임의의 $t \ge s'$에 대한 정확한 변화를 결정하며, 이는 $(\mathbf{u}_t, \xi_t) = \mathbf{F}_{s' \to t}(\mathbf{u}_{s'}, \xi_{s'})$로 표기됩니다.

유체 시뮬레이션 방법은 이 과정을 수치적으로 $(\hat{\mathbf{u}}_t, \hat{\xi}_t) = \hat{\mathbf{F}}_{s' \to t}(\mathbf{u}_{s'}, \xi_{s'})$와 같이 근사하며, 여기서 $\hat{\cdot}$는 수치적 근사를 나타냅니다.

Adjoint 방정식. 유체 관련 최적화 문제에서, 우리는 목적 함수를 최소화하는 것을 목표로 합니다.

여기서 목적 함수의 피적분 함수 $J$는 속도장 $\mathbf{u}$와 수동 스칼라 $\xi$의 시간에 따른 함수이며, 예를 들어 최종 속도 손실 $J(\mathbf{u}, \xi, t) = \delta(t-r)\|\mathbf{u} - \mathbf{u}_{target}\|^2_2$와 같습니다. 여기서 $\mathbf{u}_{target}$과 $\delta$는 각각 목표 속도장과 디랙 델타 함수를 나타냅니다.

$L$을 최소화하기 위해 경사 하강법과 같은 일반적인 최적화 방법을 적용할 때, 기울기 정보인 $\mathbf{u}^_t = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{u}_t}$와 $\xi^_t = \frac{\partial L}{\partial \xi_t}$를 계산해야 하며, 이를 각각 $\mathbf{u}_t$와 $\xi_t$의 adjoints(켤레 변수)라고 합니다.

Gałecki and Szumbarski/2022/Adjoint-based optimal control와 Stück/2012/Adjoint-based optimal control는 $\mathbf{u}^_t$와 $\xi^_t$가 다음 방정식을 따른다는 것을 보여줍니다:

여기서 $p^*$는 adjoint 압력입니다.

여기서는 외력 $\mathbf{f}$가 $\mathbf{u}$와 $\xi$에 독립적이라고 가정하며, 더 일반적인 경우는 adjoint 방법을 사용하여 유도할 수 있습니다.

시간 $r' \le r$에서의 adjoint 속도장 $\mathbf{u}^_{r'}$와 수동장 $\xi^_{r'}$가 주어지면, 방정식 4는 경계 조건 하에서 임의의 $t \le r'$에 대한 정확한 해를 결정하며, 이는 $(\mathbf{u}^_t, \xi^_t) = \mathbf{B}_{r' \to t}(\mathbf{u}^_{r'}, \xi^_{r'})$로 표기됩니다.

미분 가능한 유체 시뮬레이션은 이 과정을 수치적으로 $(\hat{\mathbf{u}}^_t, \hat{\xi}^_t) = \hat{\mathbf{B}}_{r' \to t}(\mathbf{u}^_{r'}, \xi^_{r'})$와 같이 근사하는 것을 목표로 합니다.

우리는 플로우 맵 방법을 사용하여 유체 관련 최적화 문제를 해결하며, 특정 제어 시나리오 하에서 유체 동역학(방정식 1)의 제약을 받으며 결과 유체 상태 $\mathbf{u}^\theta_t(\mathbf{x})$와 $\xi^\theta(\cdot)$가 목적 함수 $L(\mathbf{u}^\theta, \xi^\theta)$를 최소화하도록 파라미터 $\theta$를 최적화하는 것을 목표로 합니다.

이 과정은 순방향 시뮬레이션 $\hat{\mathbf{F}}_{s \to r}$을 반복적으로 수행하고, 함수 $L(\mathbf{u}^\theta, \xi^\theta)$를 평가하며, 역방향 adjoint 과정 $\hat{\mathbf{B}}_{r \to s}$를 계산하여 adjoints $\mathbf{u}^{\theta}_t$와 $\xi^{\theta}_t$를 얻고, 이 adjoints를 사용하여 제어 파라미터 $\theta$를 업데이트합니다.

$\hat{\mathbf{B}}_{r \to s}$에 대한 기법을 얻기 위해, 이산화된 순방향 과정 $\hat{\mathbf{F}}_{s \to t}$를 미분하는 이전의 미분 가능한 유체 솔버들과 달리, 우리의 접근 방식은 플로우 맵을 통해 연속적인 역방향 과정 $\mathbf{B}_{r \to t}$를 직접 계산하여, 원칙에 입각한 adjoint 공식을 도출하고 상태와 adjoints의 일관된 진화를 위해 플로우 맵을 사용하는 대칭적인 순방향-역방향 프레임워크를 구축합니다.

이 계산에 대한 개략적인 비교와 개요는 Fig. 4에 나와 있습니다.

이어서 우리는 플로우 맵 방법(3.3절)을 소개하고, 순방향(4.1절) 및 adjoint 계산(4.2절)에서의 사용법을 설명하며, 새로운 가속 전략(4.3절)을 제시하고, 마지막으로 완전한 수치 기법(5절)을 구성하여 유체 최적화 문제(6절)를 해결하는 데 사용합니다.

유체 시뮬레이션에서, 플로우 맵 방법(Deng et al./2023b/Fluid Simulation on Neural Flow Maps; Zhou et al./2024/Particle-Laden Fluid on Flow Maps)은 초기 도메인 $\mathbf{U}_s$와 현재 도메인 $\mathbf{U}_t$ ($r > t > s$, 여기서 $s$와 $r$은 각각 초기 시간과 최종 시간) 사이의 매핑을 구성하여 물리량의 정확한 이류를 가능하게 합니다.

속도장 $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)$, $\mathbf{x} \in \mathbf{U}_t$를 가지고 움직이는 유체를 고려해 봅시다.

임의의 시간 $t_1 < t_2$에 대해, 순방향 플로우 맵 $\Phi_{t_1 \to t_2} : \mathbf{U}_{t_1} \to \mathbf{U}_{t_2}$와 역방향 플로우 맵 $\Psi_{t_2 \to t_1} : \mathbf{U}_{t_2} \to \mathbf{U}_{t_1}$은 $\frac{d\mathbf{x}_q(t)}{dt} = \mathbf{u}(\mathbf{x}_q(t), t)$를 따라 움직이는 임의의 유체 입자 $q$에 대해 $\Phi_{t_1 \to t_2}(\mathbf{x}_q(t_1)) = \mathbf{x}_q(t_2)$와 $\Psi_{t_2 \to t_1}(\mathbf{x}_q(t_2)) = \mathbf{x}_q(t_1)$을 만족하는 함수로 정의됩니다. 여기서 $\mathbf{x}_q(t)$는 시간 $t$에서의 입자 $q$의 위치를 나타냅니다.

플로우 맵의 야코비 행렬은 각각 $\mathbf{F}_{t_1 \to t_2}(\mathbf{x}) = \frac{\partial \Phi_{t_1 \to t_2}(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}$, $\mathbf{x} \in \mathbf{U}_{t_1}$와 $\mathbf{T}_{t_2 \to t_1}(\mathbf{x}) = \frac{\partial \Psi_{t_2 \to t_1}(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}$, $\mathbf{x} \in \mathbf{U}_{t_2}$로 표기됩니다.

임의로 선택된 시작 시간 $s' \ge s$로부터, 플로우 맵과 그 야코비안은 다음과 같은 진화 방정식을 따릅니다:

플로우 맵 방법에서, 이류의 정확한 계산은 플로우 맵의 정확성에 달려있습니다.

순방향 플로우 맵 $\Phi_{s' \to t}$와 그 야코비안 $\mathbf{F}_{s' \to t}$는 방정식 5를 계산하기 위해 4차 룽게-쿠타 방법(RK4)과 같은 고차 기법을 사용하여 격자 상에서 정확하게 적분될 수 있지만, 방정식 6의 이류 항 $\frac{D}{Dt}$에 대한 세미-라그랑지안 처리는 소산을 유발하고 오차를 누적시켜, $\Psi$와 $\mathbf{T}$의 정밀한 계산을 어렵게 만듭니다.

이 문제를 해결하기 위해, Deng et al./2023b/Fluid Simulation on Neural Flow Maps는 임의의 주어진 시간 $r'$에서 역방향 플로우 맵 $\Psi_{r' \to s'}$와 그 야코비안 $\mathbf{T}_{r' \to s'}$가, $\Psi_{r' \to t}$와 $\mathbf{T}_{r' \to t}$를 $r'$에서 $s'$로 시간을 거슬러($\Delta t < 0$) 진화시킨 결과로 해석될 수 있음을 관찰했습니다. 이는 시작 시간이 $r'$인 역시간 유체 운동의 동역학을 따르며 이류 항이 없습니다 (Fig. 6 참조):

방정식 7은 이류 항을 포함하지 않으므로, 고차 적분을 통해 역방향 플로우 맵 $\Psi$와 그 야코비안 $\mathbf{T}$를 정확하게 계산할 수 있습니다.

이 접근법은 오일러리안 플로우 맵(EFM) 방법으로 알려져 있으며, 방정식 5와 방정식 7로부터 정확하게 계산된 플로우 맵을 기반으로 와류 구조를 보존하는 데 있어 최첨단 성능을 달성합니다.

유체 방정식. 우리는 유체 시뮬레이션을 위해 비압축성 나비에-스토크스 방정식과 수동장(passive field)의 이류(advection)에 초점을 맞춥니다:

여기서 $p$, $\mathbf{f}$, $\nu = \mu/\rho$는 각각 압력장, 외력, 동점성 계수를 나타냅니다. 스칼라장 $\xi$는 연기 밀도나 색상과 같이 유체에 의해 이류되는 수동적 물리량 필드를 나타냅니다. 임의의 시작 시간 $s' \ge s$에서의 속도장 $\mathbf{u}_{s'}$와 수동장 $\xi_{s'}$가 주어지면, 방정식 1은 잘 정의된 경계 조건 하에서 임의의 시간 $t \ge s'$에 대한 그것들의 정확한 변화를 결정하며, 이는 $(\mathbf{u}_t, \xi_t) = \mathbf{F}_{s' \to t}(\mathbf{u}_{s'}, \xi_{s'})$로 표기됩니다. 유체 시뮬레이션 방법은 이 과정을 수치적으로 $(\hat{\mathbf{u}}_t, \hat{\xi}_t) = \hat{\mathbf{F}}_{s' \to t}(\mathbf{u}_{s'}, \xi_{s'})$와 같이 근사하며, 여기서 $\hat{\cdot}$는 수치적 근사를 나타냅니다.

어드조인트 방정식. 유체 관련 최적화 문제에서, 우리는 목적 함수를 최소화하는 것을 목표로 합니다.

여기서 목적 함수 피적분 함수 $J$는 속도장 $\mathbf{u}$와 수동 스칼라 $\xi$에 대한 시간 의존적 함수이며, 예를 들어 최종 속도 손실 $J(\mathbf{u}, \xi, t) = \delta(t-r)\|\mathbf{u} - \mathbf{u}_{\text{target}}\|_2^2$가 있습니다. 여기서 $\mathbf{u}_{\text{target}}$과 $\delta$는 각각 목표 속도장과 디랙 델타 함수를 나타냅니다. $L$을 최소화하기 위해 경사 하강법과 같은 일반적인 최적화 방법을 적용할 때, 그래디언트 정보인 $\mathbf{u}^_t = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{u}_t}$와 $\xi^_t = \frac{\partial L}{\partial \xi_t}$를 계산해야 하며, 이들은 각각 $\mathbf{u}_t$와 $\xi_t$의 어드조인트(adjoints)라고 불립니다. Gałecki and Szumbarski/2022/Adjoint-based optimal control와 Stück/2012/Adjoint-based optimal control에 따르면 $\mathbf{u}^_t$와 $\xi^_t$는 다음 방정식을 따릅니다:

여기서 $p^$는 어드조인트 압력입니다. 여기서 우리는 외력 $\mathbf{f}$가 $\mathbf{u}$와 $\xi$에 독립적이라고 가정하며, 더 일반적인 경우는 어드조인트 방법을 사용하여 유도할 수 있습니다. 시간 $r' \le r$에서의 어드조인트 속도장 $\mathbf{u}^_{r'}$와 어드조인트 수동장 $\xi^_{r'}$가 주어지면, 방정식 4는 경계 조건 하에서 임의의 시간 $t \le r'$에 대한 그것들의 정확한 해를 결정하며, 이는 $(\mathbf{u}^_t, \xi^_t) = \mathbf{B}_{r' \to t}(\mathbf{u}^_{r'}, \xi^_{r'})$로 표기됩니다. 미분 가능한 유체 시뮬레이션은 이 과정을 수치적으로 $(\hat{\mathbf{u}}^_t, \hat{\xi}^_t) = \hat{\mathbf{B}}_{r' \to t}(\mathbf{u}^_{r'}, \xi^*_{r'})$와 같이 근사하는 것을 목표로 합니다.

우리는 플로우 맵 방법을 사용하여 유체 관련 최적화 문제를 해결하며, 매개변수 $\theta$를 최적화하여 결과 유체 상태 $u^{\theta}_{t}(x)$와 $\xi^{\theta}(\cdot)$가 특정 제어 시나리오 하에서 유체 역학(수식 1)의 제약을 받으며 목적 함수 $L(u^{\theta}, \xi^{\theta})$를 최소화하도록 하는 것을 목표로 합니다.

이 과정은 순방향 시뮬레이션 $\hat{F}_{s \to r}$을 반복적으로 수행하고, 함수 $L(u^{\theta}, \xi^{\theta})$를 평가하며, 역방향 어드조인트 과정 $\hat{B}_{r \to s}$을 계산하여 어드조인트 $u^{\theta}_{t}$와 $\xi^{\theta}_{t}$를 얻은 다음, 이 어드조인트들을 사용하여 제어 매개변수 $\theta$를 업데이트합니다.

$\hat{B}_{r \to s}$에 대한 기법을 얻기 위해, 이산화된 순방향 과정 $\hat{F}_{s \to t}$를 미분하는 기존의 미분 가능 유체 솔버들과는 달리, 우리의 접근 방식은 플로우 맵을 통해 연속적인 역방향 과정 $B_{r \to t}$를 직접 계산합니다.

이를 통해 원칙에 입각한 어드조인트 공식을 도출하고, 상태와 어드조인트의 일관된 시간 변화를 위해 플로우 맵을 사용하는 대칭적인 순방향-역방향 프레임워크를 구축합니다.

이 계산에 대한 개략적인 비교와 개요는 Fig. 4에 나와 있습니다.

이어서 우리는 플로우 맵 방법(3.3절)을 소개하고, 순방향(4.1절) 및 어드조인트 계산(4.2절)에서의 사용법을 설명하며, 새로운 가속 전략(4.3절)을 제시하고, 마지막으로 완전한 수치 기법(5장)을 구성하여, 이를 유체 최적화 문제(6장)를 해결하는 데 사용합니다.

유체 시뮬레이션에서 유동 맵 방법(Deng/2023b/NeuralFlowMaps, Zhou/2024/ParticleFlowMap)은 초기 도메인 $U_s$와 현재 도메인 $U_t$ ($r> t> s$, 여기서 $s$와 $r$은 각각 초기 시간과 최종 시간) 사이에 매핑을 구성하여 물리량의 정확한 이류 계산을 가능하게 합니다. 속도장 $u(x,t)$, $x \in U_t$를 가지고 움직이는 유체를 고려해 봅시다. 임의의 시간 $t_1 < t_2$에 대해, 순방향 유동 맵 $\Phi_{t_1\to t_2} : U_{t_1} \to U_{t_2}$와 역방향 유동 맵 $\Psi_{t_2\to t_1} : U_{t_2} \to U_{t_1}$은 $\frac{dx_q(t)}{dt} = u(x_q(t),t)$를 따라 움직이는 모든 유체 입자 $q$에 대해 $\Phi_{t_1\to t_2} (x_q(t_1)) = x_q(t_2)$와 $\Psi_{t_2\to t_1} (x_q(t_2)) = x_q(t_1)$을 만족하는 함수로 정의됩니다. 여기서 $x_q(t)$는 시간 $t$에서의 입자 $q$의 위치를 나타냅니다.

유동 맵의 야코비안 행렬은 각각 $F_{t_1\to t_2} (x) = \frac{\partial\Phi_{t_1\to t_2} (x)}{\partial x}$, $x \in U_{t_1}$와 $T_{t_2\to t_1} (x) = \frac{\partial\Psi_{t_2\to t_1} (x)}{\partial x}$, $x \in U_{t_2}$로 표기됩니다. 임의로 선택된 시작 시간 $s' \ge s$로부터, 유동 맵과 그 야코비안은 다음과 같은 진화 방정식을 따릅니다:

유동 맵 방법에서, 이류의 정확한 계산은 유동 맵의 정확성에 달려있습니다. 순방향 유동 맵 $\Phi_{s'\to t}$와 그 야코비안 $F_{s'\to t}$는 4차 룽게-쿠타 방법(RK4)과 같은 고차 기법을 사용하여 격자 상에서 정확하게 적분될 수 있지만(수식 5 계산), 수식 6에서 이류 항 $\frac{D}{Dt}$의 준-라그랑주 처리는 소산을 유발하고 오차를 누적시켜, $\Psi$와 $T$의 정밀한 계산을 어렵게 만듭니다.

이 문제를 해결하기 위해, Deng/2023b/NeuralFlowMaps은 임의의 주어진 시간 $r'$에서 역방향 유동 맵 $\Psi_{r'\to s'}$와 그 야코비안 $T_{r'\to s'}$가, 시작 시간 $r'$에서 이류 항 없이 역시간 유체 운동의 동역학을 따르는 $\Psi_{r'\to t}$와 $T_{r'\to t}$를 $r'$에서 $s'$로 $\Delta t < 0$으로 시간을 거슬러 진화시킨 결과로 해석될 수 있음을 관찰했습니다 (Fig. 6 참조):

수식 7은 이류 항을 배제하기 때문에, 고차 적분을 통해 역방향 유동 맵 $\Psi$와 그 야코비안 $T$를 정확하게 계산할 수 있습니다. 이 접근법은 오일러리안 유동 맵 방법(EFM)으로 알려져 있으며, 수식 5와 수식 7로부터 정확하게 계산된 유동 맵을 기반으로 와류 구조를 보존하는 데 있어 최첨단 성능을 달성합니다.

미분 가능한 유동 맵을 구현하기 위해, 우리는 이전 방법들처럼 $\hat{F}$를 미분하는 대신, 역방향 프로세스 $B$를 직접 이산화하여 $\hat{B}$를 계산합니다. 유동 맵을 사용하여, 우리는 먼저 나비에-스토크스 방정식 1을 시작 시간 $s$에서 종료 시간 $r$까지 순방향으로 풀고, 그 다음 어드조인트 나비에-스토크스 방정식 4를 $r$에서 $s$까지 역방향으로 풉니다. 이 두 과정은 각각 순방향 및 역방향 패스라고 하며, 아래에서 논의될 것입니다.

Li et al./2024b/Particle-Laden Fluid에 따르면, 수식 1은 플로우 맵을 통해 정확하게 계산될 수 있으며, 수식 1의 적분 형태를 사용합니다.

자세한 절차는 여기서 생략하고 보충 자료의 부록 A에 제공됩니다. 우리는 어드조인트의 진화를 정확하게 계산하기 위해 동일한 접근 방식을 따릅니다.

어드조인트 속도장 $u^_t$ 또한 비압축성 조건 $\nabla \cdot u^_t = 0$을 만족하므로, 수식 4는 유사하게 플로우 맵을 사용하여 풀 수 있습니다. 주목할 점은, 순방향 수식 1과 어드조인트 수식 4 모두 동일한 속도장에 의해 구동되며, 역방향 패스의 흐름은 순방향 패스의 시간 역전으로 볼 수 있다는 것입니다.

결과적으로, 순방향 방정식에서 사용된 순방향 플로우 맵 $\Phi_{t_1\to t_2}$, $F_{t_1\to t_2}$와 역방향 플로우 맵 $\Psi_{t_2\to t_1}$, $T_{t_2\to t_1}$ ($t_1 < t_2$)은 어드조인트 방정식의 역방향 패스에서 각각 역방향 및 순방향 플로우 맵 역할을 할 수 있으며, 이를 통해 어드조인트 필드 $u^_t$와 $\xi^_t$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

여기서 $u^M_{r\to t}(x) = F^\top_{t\to r}(x)u^(\Phi_{t\to r}(x),r)$는 장거리 매핑된 어드조인트 속도라고 하며, $\Lambda^u_{r\to t}$는 어드조인트 속도의 경로 적분기를 나타냅니다. 장거리 매핑은 $u^$가 이류로 인한 오차 누적을 피할 수 있게 해줍니다. $\xi^(x,t)$에 대해, $\xi^M_{r\to t}(x) = \xi^(\Phi_{t\to r}(x),r)$는 장거리 매핑된 어드조인트 수동 필드이고 $\Lambda^\xi_{r\to t}$는 그것의 경로 적분기입니다.

역방향 패스에서의 어드조인트 계산을 위해, 우리는 Chen et al./2024b/Solid-Fluid Interaction와 Li et al./2024b/Particle-Laden Fluid에서 소개된 장단기 매핑 변환 전략을 활용하여 어드조인트 적분 수식 9를 계산하는 전략을 수립합니다. 자세한 내용은 다음과 같습니다.

매핑 및 변환. 먼저 장거리 매핑된 어드조인트 속도 $u^M_{r\to t}(x)$를 $u^M_{r\to t}(x) = F^\top_{t\to r}(x) u^(\Phi_{t\to r}(x),r)$를 사용하여 계산한 다음, 장거리 매핑된 어드조인트 속도를 단거리 이류된 어드조인트 속도 $u^A_{t'\to t}(x)$로 변환합니다. 여기서 $t'$는 시간 $t$의 마지막 타임 스텝입니다 (증명은 보충 자료 섹션 B.1 참조):

여기서 이류된 어드조인트 속도 $u^A_{t'\to t}(x)$는 이전 역방향 타임스텝 $t'$로부터 어드조인트 이류 방정식 $\frac{\partial}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u^ = \nabla u^\top u^$에 의해 직접 이류된 속도입니다. 매핑된 어드조인트 수동 필드 $\xi^M_{r\to t}(x) = \xi^*(\Phi_{t\to r}(x),r)$가 계산된 후, 경로 적분기 $\Lambda^\xi_{r\to t'}$와 현재 소스 항 $\frac{\partial J}{\partial \xi}$를 사용하여 현재 어드조인트 수동 필드는 다음과 같이 업데이트됩니다:

누적 효과. 그런 다음 매핑 이외의 항들로부터 누적된 기여도를 계산합니다. $\xi^\nabla\xi$가 계산된 후, $u^A_{t'\to t}(x)$로부터 계산된 점성 항 $\nu\Delta u^$와 목적 함수의 소스 항 $\frac{\partial J}{\partial u}$와 함께, 투영되지 않은 속도 $u^_t up(x)$는 다음과 같이 계산됩니다.

투영. 현재 타임스텝에서 최종 어드조인트 속도를 얻기 위해, 어드조인트 비-통과 경계 조건(Stück/2012/Adjoint-based optimal control)과 함께 어드조인트 푸아송 방정식이 풀립니다:

여기서 $n$은 고체 경계의 법선 벡터이고, $\partial_b U_t$는 도메인의 고체 경계를 나타냅니다. 그런 다음 투영을 통해 현재 시간의 최종 어드조인트 속도를 계산합니다:

경로 적분기 업데이트. 이어서, 어드조인트 소스 항, 어드조인트 점성 항 및 어드조인트 압력 그래디언트 $-\nabla p^*$를 다음 단계의 장단기 매핑 변환을 위해 경로 적분기 $\Lambda^u_{r\to t}$에 누적하고, $\frac{\partial J}{\partial \xi}$를 $\Lambda^\xi_{r\to t}$에 누적해야 합니다.

$\Lambda^u_{r\to t}$와 $\Lambda^\xi_{r\to t}$는 수식 9의 정의에 따라 각각 $\Delta t < 0$으로 업데이트됩니다:

플로우 맵 순방향 프로세스를 직접 미분하는 것은 몇 가지 어려움을 야기합니다. 오일러리안 플로우 맵(EFM)(Deng et al./2023b/Fluid Simulation on Neural Flow Maps)과 입자 플로우 맵(PFM)(Zhou et al./2024/Particle Flow Map)을 포함한 기존의 플로우 맵 방법들은 계산 비용과 메모리 소비 측면에서 집약적입니다. 순방향 프로세스를 미분하려면 중간 상태에 대한 추가 저장이 필요하며, 3-5배에 달하는 역방향 패스 계산은 시간 및 메모리 오버헤드를 더욱 악화시킵니다. 그러나 미분 가능한 시뮬레이션은 최적화 중에 반복적인 실행이 필요하므로 시간 효율성이 중요합니다. EFM의 비싼 $O(m^2)$ 플로우 맵 진화를 피하기 위해, 우리는 순방향 수식 8과 역방향 수식 9 계산 모두에 시간-희소 EFM(Sun et al./2025/Time-Sparse Eulerian Flow Maps)을 채택합니다. 이 접근 방식에서는 장거리 매핑이 재초기화 단계에서만 적용되고, 중간 단계에서는 이류를 위해 세미-라그랑지안 방법을 사용하며 동시에 나중에 재초기화 단계에서 플로우 맵 계산에 사용될 경로 적분을 누적합니다.

시간-희소 EFM의 핵심 아이디어는 각 재초기화 간격 내에서 세미-라그랑지안 이류로 인한 오차 누적을 허용하고, 재초기화 단계에서 이전 재초기화로부터의 더 정확한 장거리 매핑된 속도를 사용하여 이를 보정하는 것입니다. Fig. 15 (오른쪽)에서 볼 수 있듯이, 시간-희소 EFM은 긴 시간 스케일에서 와류를 보존하지만, 에너지 곡선은 재초기화 단계 사이에 명확한 감쇠가 있는 톱니 패턴을 보입니다. 이는 선택된 프레임만 렌더링되는 컴퓨터 그래픽스의 시각 효과에서는 수용 가능합니다. 재초기화 간격을 프레임 출력 간격과 일치시킴으로써 시각적 결과는 영향을 받지 않습니다. 그러나 역방향 패스의 어드조인트 계산에서는 이것이 주요한 문제를 야기합니다. 시각 효과와 달리, 모든 단계의 속도 $u$는 수식 4의 $\nabla u^\top u^$ 항을 통해 어드조인트 $u^$에 명시적으로 기여합니다. 중간 단계의 오차는 경로 적분 $\Lambda_{r\to t}$를 통해 누적되어 $u^*$의 정확도를 크게 저하시킵니다—이는 Fig. 15에 표시된 립프로깅 예제의 어드조인트 필드에서 눈에 띄는 아티팩트로 입증됩니다.

이 문제를 해결하기 위해, 우리는 기존 시간-희소 EFM의 개선된 버전인 장단기 시간-희소 EFM을 제안합니다. 우리는 시간-희소 EFM이 장거리 플로우 맵을 사용하여 긴 시간적 거리에서는 정확도를 유지하지만, 짧은 거리에서는 상당한 오차를 겪는다는 것을 관찰했습니다. 이를 해결하기 위해, 우리는 지역적 정확도를 향상시키기 위해 재초기화 단계 사이에 희소한 단거리 플로우 맵을 도입합니다. 우리는 이 방식을 장단기 시간-희소 EFM이라고 부릅니다. 이 방식은 순방향 시뮬레이션과 역방향 어드조인트 계산 모두에 사용됩니다. 여기서는 역방향 패스를 예로 들어 설명합니다. 순방향 패스에 대한 방법은 유사하며 보충 자료 섹션 A의 알고리즘 3에 제시되어 있습니다.

우리는 장거리 플로우 맵을 매 $\Delta t^l_{reinit} = n_l\Delta t$마다, 단거리 플로우 맵을 매 $\Delta t^s_{reinit} = n_s\Delta t$마다 재초기화하며, 일반적으로 $n_l = 15 \sim 60$이고 $n_s = 1 \sim 3$입니다. 알고리즘 1에서는 이전 장거리 재초기화 시간 $r'$에서 시작하는 하나의 장거리 재초기화 주기를 설명합니다. $r''$을 가장 최근의 단거리 재초기화 시간으로 하고, $r'' = r'$로 초기화합니다. 우리는 두 세트의 플로우 맵, 즉 장거리용 $\Psi^l_{r'\to t}, T^l_{r'\to t}, \Phi^l_{t_c\to t}, F^l_{t_c\to t}$와 단거리용 $\Psi^s_{r''\to t}, T^s_{r''\to t}, \Phi^s_{t_c\to t}, F^s_{t_c\to t}$를 유지하고, 두 개의 경로 적분기, 즉 장거리용 $\Lambda^{u,l}_{r'\to t}, \Lambda^{\xi,l}_{r'\to t}$와 단거리용 $\Lambda^{u,s}_{r''\to t}, \Lambda^{\xi,s}_{r''\to t}$를 각각 유지합니다. 여기서 $t_c < r'$는 현재 시간이고 $t$는 적분 동안의 진화하는 시간 변수 역할을 합니다.

알고리즘 1에서 파란색으로 강조된 부분은 시간-희소 EFM에 비해 장단기 시간-희소 EFM에 의해 추가된 구성 요소를 나타내며, 이는 Fig. 6 (c)(d)의 파란색 선에 해당합니다. 우리 방법은 플로우 맵 진화의 $O(m)$ 시간 복잡도를 유지하면서 진화 단계 수에서 일회성 오버헤드만 발생시킵니다. 기존의 시간-희소 EFM에서와 같이, 우리는 큰 시간 간격에 걸쳐 정확도를 유지하기 위해 장거리 플로우 맵을 사용하고, 단거리 플로우 맵은 희소한 장거리 업데이트 사이의 정확도를 보장하여 부정확한 중간 속도로 인한 $u^*$의 오차 누적을 방지합니다.

Li et al./2024/Particle-Laden Fluid에 따르면, 방정식 1은 플로우 맵을 통해 정확하게 계산될 수 있으며, 방정식 1의 적분 형태를 사용합니다.

자세한 절차는 여기서 생략되었으며 보충 자료의 부록 A에 제공됩니다.

우리는 adjoint의 변화를 정확하게 계산하기 위해 동일한 접근 방식을 따릅니다.

애드조인트 속도장 $u∗_t$ 또한 비압축성 조건 $\nabla\cdot u∗_t= 0$을 만족하므로, 방정식 4는 유사하게 플로우 맵을 사용하여 풀 수 있습니다. 특히, 순방향 방정식 1과 애드조인트 방정식 4는 모두 동일한 속도장에 의해 구동되며, 역방향 패스의 흐름은 순방향 패스의 시간 역전으로 볼 수 있습니다.

결과적으로, 순방향 방정식에서 사용된 순방향 플로우 맵 $\Phi_{t_1\to t_2}$, $F_{t_1\to t_2}$와 역방향 플로우 맵 $\Psi_{t_2\to t_1}$, $T_{t_2\to t_1}$ ($t_1 < t_2$)은 애드조인트 방정식의 역방향 패스에서 각각 역방향 및 순방향 플로우 맵 역할을 할 수 있으며, 이를 통해 애드조인트 장 $u∗_t$와 $\xi∗_t$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

여기서 $u∗^M_{r\to t}(x) = F^\top_{t\to r}(x)u∗(\Phi_{t\to r}(x),r)$은 장거리 매핑된 애드조인트 속도라고 하며, $\Lambda^u_{r\to t}$는 애드조인트 속도의 경로 적분기를 나타냅니다. 장거리 매핑은 $u∗$가 이류로 인해 발생하는 오차 누적을 피할 수 있게 해줍니다. $\xi∗(x,t)$에 대해, $\xi∗^M_{r\to t}(x) = \xi∗(\Phi_{t\to r}(x),r)$는 장거리 매핑된 애드조인트 수동장이고 $\Lambda^\xi_{r\to t}$는 그것의 경로 적분기입니다.

역방향 패스에서의 애드조인트 계산을 위해, 우리는 Chen et al./2024b/Solid-Fluid와 Li et al./2024b/Particle-Laden에서 소개된 장단기 매핑 변환 전략을 활용하여 애드조인트 적분 방정식 9를 계산하는 전략을 수립합니다. 자세한 내용은 다음과 같습니다.

매핑 및 변환. 먼저 장거리 매핑된 애드조인트 속도 $u∗^M_{r\to t}(x)$를 $u∗^M_{r\to t}(x) = F^\top_{t\to r}(x) u∗(\Phi_{t\to r}(x),r)$를 사용하여 계산한 다음, 이 장거리 매핑된 애드조인트 속도를 단거리 이류된 애드조인트 속도 $u∗^A_{t'\to t}(x)$로 변환합니다. 여기서 $t'$는 시간 $t$의 마지막 타임스텝입니다 (증명은 보충 자료 섹션 B.1 참조):

여기서 이류된 애드조인트 속도 $u∗^A_{t'\to t}(x)$는 이전 역방향 타임스텝 $t'$로부터 애드조인트 이류 방정식 $\frac{\partial}{\partial t}+ (u \cdot \nabla) u∗= \nabla u^\top u∗$에 의해 직접 이류된 속도입니다. 매핑된 애드조인트 수동장 $\xi∗^M_{r\to t}(x) = \xi∗(\Phi_{t\to r}(x),r)$가 경로 적분기 $\Lambda^\xi_{r\to t'}$와 현재 소스 항 $\frac{\partial J}{\partial \xi}$와 함께 계산된 후, 현재 애드조인트 수동장은 다음과 같이 업데이트됩니다:

누적 효과. 그 다음 매핑 이외의 항들로부터 누적된 기여도를 계산합니다. $\xi∗\nabla\xi$가 계산된 후, $u∗^A_{t'\to t}(x)$로부터 계산된 점성 항 $\nu\Delta u∗$와 목적 함수 $\frac{\partial J}{\partial u}$의 소스 항과 함께, 투영되지 않은 속도 $u∗_t^{up}(x)$는 다음과 같이 계산됩니다.

투영. 현재 타임스텝에서 최종 애드조인트 속도를 얻기 위해, 애드조인트 비-통과 경계 조건을 갖는 애드조인트 푸아송 방정식이 풀립니다 Stück/2012/Adjoint-based:

여기서 $n$은 고체 경계의 법선 벡터이고, $\partial_b U_t$는 도메인의 고체 경계를 나타냅니다. 그런 다음 투영을 통해 현재 시간의 최종 애드조인트 속도를 계산합니다:

경로 적분기 업데이트. 이어서, 다음 단계의 장단기 매핑 변환을 위해 애드조인트 소스 항, 애드조인트 점성 항 및 애드조인트 압력 그래디언트 $-\nabla p∗$를 경로 적분기 $\Lambda^u_{r\to t}$에 누적하고, $\frac{\partial J}{\partial \xi}$를 $\Lambda^\xi_{r\to t}$에 누적해야 합니다.

플로우 맵 순방향 프로세스를 직접 미분하는 것은 몇 가지 어려움을 야기합니다. 오일러리안 플로우 맵(EFM) Deng et al./2023b/Fluid Simulation과 입자 플로우 맵(PFM) Zhou et al./2024/Particle flow map을 포함한 기존의 플로우 맵 방법들은 계산 비용과 메모리 소비 측면에서 집약적입니다. 순방향 프로세스를 미분하려면 중간 상태에 대한 추가 저장 공간이 필요하며, 3-5배에 달하는 역방향 패스 계산은 시간 및 메모리 오버헤드를 더욱 악화시킵니다. 그러나 미분 가능 시뮬레이션은 최적화 과정에서 반복적인 실행이 필요하므로 시간 효율성이 매우 중요합니다. EFM에서 비용이 많이 드는 $O(m^2)$ 플로우 맵 진화를 피하기 위해, 우리는 순방향 방정식 8과 역방향 방정식 9 계산 모두에 시간-희소 EFM Sun et al./2025/Time-sparse을 채택합니다. 이 접근 방식에서는 장거리 매핑이 재초기화 단계에서만 적용되고, 중간 단계에서는 이류를 위해 세미-라그랑지안을 사용하며 동시에 나중에 재초기화 단계의 플로우 맵 계산에 사용될 경로 적분을 누적합니다.

시간-희소 EFM의 핵심 아이디어는 세미-라그랑지안 이류로 인해 각 재초기화 간격 내에서 오차 누적을 허용하고, 재초기화 단계에서 이전 재초기화로부터의 더 정확한 장거리 매핑된 속도를 사용하여 이를 보정하는 것입니다. Fig. 15 (오른쪽)에서 볼 수 있듯이, 시간-희소 EFM은 장시간에 걸쳐 와류를 보존하지만, 에너지 곡선은 재초기화 단계 사이에 명확한 감쇠를 보이는 톱니 패턴을 나타냅니다. 이는 선택된 프레임만 렌더링되는 컴퓨터 그래픽스의 시각 효과에서는 수용 가능합니다. 재초기화 간격을 프레임 출력 간격과 일치시킴으로써 시각적 결과는 영향을 받지 않습니다. 그러나 역방향 패스의 애드조인트 계산에서는 이것이 주요한 문제를 야기합니다. 시각 효과와 달리, 모든 단계의 속도 $u$는 방정식 4의 $\nabla u^\top u∗$ 항을 통해 애드조인트 $u∗$에 명시적으로 기여합니다. 중간 단계의 오차는 경로 적분 $\Lambda_{r\to t}$를 통해 누적되어, $u∗$의 정확도를 현저하게 저하시킵니다 — 이는 Fig. 15에 표시된 립프로깅 예제의 애드조인트 필드에서 눈에 띄는 아티팩트로 입증됩니다.

이 문제를 해결하기 위해, 우리는 기존 시간-희소 EFM의 개선된 버전인 장단기 시간-희소 EFM을 제안합니다. 우리는 시간-희소 EFM이 장거리 플로우 맵을 사용하여 긴 시간적 거리에서는 정확도를 유지하지만, 짧은 거리에서는 상당한 오차를 겪는다는 것을 관찰했습니다. 이를 해결하기 위해, 우리는 재초기화 단계 사이에 희소한 단거리 플로우 맵을 도입하여 지역적 정확도를 향상시킵니다. 우리는 이 방식을 장단기 시간-희소 EFM이라고 부릅니다. 이 방식은 순방향 시뮬레이션과 역방향 애드조인트 계산 모두에 사용됩니다. 여기서는 역방향 패스를 예로 들어 설명합니다. 순방향 패스에 대한 방법은 유사하며 보충 자료 섹션 A의 알고리즘 3에 제시되어 있습니다.

유동 맵 순방향 과정을 직접 미분하는 것은 몇 가지 어려움을 야기합니다. 오일러리안 유동 맵(EFM) Deng/2023/NeuralFlowMaps과 입자 유동 맵(PFM) Zhou/2024/ParticleFlowMaps을 포함한 기존의 유동 맵 방법들은 계산 비용과 메모리 소비 측면에서 집약적입니다. 순방향 과정을 미분하려면 중간 상태들을 위한 추가적인 저장이 필요하며, 3~5배에 달하는 역방향 패스 계산은 시간 및 메모리 오버헤드를 더욱 악화시킵니다. 그러나 미분 가능한 시뮬레이션은 최적화 과정에서 반복적인 실행이 필요하므로 시간 효율성이 매우 중요합니다. EFM에서의 비용이 많이 드는 $O(m^2)$ 유동 맵 진화를 피하기 위해, 우리는 순방향 수식 8과 역방향 수식 9 계산 모두에 시간 희소 EFM Sun/2025/TimeSparseEFM을 채택합니다. 이 접근법에서는 장거리 매핑이 재초기화 단계에서만 적용되고, 중간 단계에서는 이류를 위해 반-라그랑지안 방법을 사용하며 동시에 나중에 재초기화 단계에서 유동 맵 계산에 사용될 경로 적분을 누적합니다.

시간 희소 EFM의 핵심 아이디어는 각 재초기화 간격 내에서 반-라그랑지안 이류로 인한 오차 누적을 허용한 다음, 이전 재초기화로부터의 더 정확한 장거리 매핑된 속도를 사용하여 재초기화 단계에서 이를 보정하는 것입니다. Fig. 15 (오른쪽)에서 볼 수 있듯이, 시간 희소 EFM은 긴 시간 스케일에 걸쳐 와류를 보존하지만, 에너지 곡선은 재초기화 단계 사이에 명확한 감쇠와 함께 톱니 패턴을 보입니다. 이는 선택된 프레임만 렌더링되는 컴퓨터 그래픽스의 시각 효과에서는 수용 가능합니다. 재초기화 간격을 프레임 출력 간격과 일치시킴으로써 시각적 결과는 영향을 받지 않습니다. 그러나 역방향 패스에서의 어드조인트 계산에서는 이것이 주요한 문제를 야기합니다. 시각 효과와 달리, 모든 단계에서의 속도 $u$는 수식 4의 $\nabla u^\top u^$ 항을 통해 어드조인트 $u^$에 명시적으로 기여합니다. 중간 단계에서의 오차는 경로 적분 $\Lambda_{r\to t}$를 통해 누적되어 $u^$의 정확도를 현저하게 저하시킵니다. 이는 Fig. 15에 나타난 도약 와류 예제의 어드조인트 필드에서 눈에 띄는 아티팩트로 입증됩니다.

이 문제를 해결하기 위해, 우리는 기존 시간 희소 EFM의 개선된 버전인 장단기 시간 희소 EFM을 제안합니다. 우리는 시간 희소 EFM이 장거리 유동 맵을 사용하여 긴 시간적 거리에 걸쳐 정확도를 유지하지만, 짧은 거리에서는 상당한 오차를 겪는다는 것을 관찰했습니다. 이를 해결하기 위해, 우리는 재초기화 단계 사이에 희소한 단거리 유동 맵을 도입하여 지역적 정확도를 향상시킵니다. 우리는 이 방식을 장단기 시간 희소 EFM이라고 부릅니다. 이 방식은 순방향 시뮬레이션과 역방향 어드조인트 계산 모두에 사용됩니다. 여기서는 역방향 패스를 예로 들어 설명하겠습니다. 순방향 패스를 위한 방법은 유사하며 보충 자료 섹션 A의 알고리즘 3에 제시되어 있습니다.

우리는 장거리 유동 맵을 매 $\Delta t^l_{\text{reinit}} = n_l \Delta t$마다, 단거리 유동 맵을 매 $\Delta t^s_{\text{reinit}} = n_s \Delta t$마다 재초기화하며, 일반적으로 $n_l= 15 \sim 60$ 그리고 $n_s= 1 \sim 3$으로 설정합니다. 알고리즘 1에서는 이전 장거리 재초기화 시간 $r'$에서 시작하는 하나의 장거리 재초기화 주기를 설명합니다. $r''$을 가장 최근의 단거리 재초기화 시간이라 하고, $r'' = r'$으로 초기화합니다. 우리는 두 세트의 유동 맵, 즉 장거리용 $\Psi^l_{r'\to t}, T^l_{r'\to t}, \Phi^l_{t_c\to t}, F^l_{t_c\to t}$와 단거리용 $\Psi^s_{r''\to t}, T^s_{r''\to t}, \Phi^s_{t_c\to t}, F^s_{t_c\to t}$를 유지하고, 또한 두 개의 경로 적분자, 즉 장거리용 $\Lambda_{u,l}^{r'\to t}, \Lambda_{\xi,l}^{r'\to t}$와 단거리용 $\Lambda_{u,s}^{r''\to t}, \Lambda_{\xi,s}^{r''\to t}$를 각각 유지합니다. 여기서 $t_c < r'$는 현재 시간이고 $t$는 적분 동안 진화하는 시간 변수 역할을 합니다.

알고리즘 1에서 파란색으로 강조된 부분은 시간 희소 EFM과 비교하여 장단기 시간 희소 EFM에 의해 추가된 구성 요소들을 나타내며, 이는 Fig. 6 (c)(d)의 파란색 선에 해당합니다. 우리 방법은 유동 맵 진화의 $O(m)$ 시간 복잡도를 유지하며, 진화 단계 수에서 일회성 오버헤드만 추가됩니다. 기존의 시간 희소 EFM에서와 같이, 우리는 큰 시간 간격에 걸쳐 정확도를 유지하기 위해 장거리 유동 맵을 사용하며, 단거리 유동 맵은 희소한 장거리 업데이트 사이의 정확도를 보장하여 부정확한 중간 속도로 인한 $u^$의 오차 누적을 방지합니다.

저희는 격자 간격이 $Δx$인 격자 $G$를 사용하며, 여기서 $x_g$는 격자점 $g \in G$의 위치를 나타냅니다. 격자점 $g$에서의 필드 값은 아래 첨자 $g$로 표기합니다. 고정된 시간 간격 $Δt$에 대해, $i= 0, . . . ,n$에 대해 $t_i= iΔt$로 정의하며, 여기서 $t_0 = s$이고 $t_n= r$입니다. 저희의 전체 알고리즘은 물리량을 계산하기 위한 순방향 패스와 그 adjoint를 계산하기 위한 역방향 패스로 구성됩니다. 알고리즘 2는 역방향 패스를 보여주며, 순방향 패스는 보충 자료 섹션 C의 알고리즘 4에 제시되어 있습니다. 이는 순방향 패스 계산이 이 논문의 주요 초점이 아니기 때문입니다.

보간. 매핑을 계산하기 위해, 지지 반경이 $1.5Δx$인 2차 커널을 사용하여 매핑된 필드를 보간합니다. 예를 들어, $u∗M_{r′→t_c}(x) = F_{t_c→r′}(x)u∗(Φ_{t_c→r′}(x),r′)$의 계산은 다음과 같이 주어집니다:

여기서 $N(Φ_{t_c→r′,g}) = \{g′ | w(x_{g′} −Φ_{t_c→r′,g}) > 0\}$는 $Φ_{t_c→r′,g}$에 인접한 격자점들의 집합을 나타냅니다.

중간점 속도. Deng/2023b/Fluid Simulation on Neural Flow Maps를 따라, 유동 맵과 그 야코비안 $F$와 $T$는 4차 룽게-쿠타 방법을 사용하여 이류되어 수식 5와 수식 7을 각각 풉니다. 중간점 속도 $u^{mid}_r$은 Deng/2023b/Fluid Simulation on Neural Flow Maps의 알고리즘 2에 따라 속도장을 시간 간격의 절반만큼 전진시켜 계산됩니다. 이러한 중간점 속도들은 유동 맵을 전개하고 수식 9를 푸는 역방향 패스 동안에도 필요하기 때문에, 중복 계산을 피하기 위해 각 단계에서 저장합니다. 계산 그래프에 모든 중간 속도를 유지해야 하는 자동 미분 방법들과 달리, 저희 방법은 GPU를 사용하지 않고 디스크나 메모리에 저장할 수 있습니다.

매핑을 위한 BFECC. 저희가 전개하는 유동 맵은 양방향이므로, Deng/2023b/Fluid Simulation on Neural Flow Maps와 Sun/2025/Time-Sparse Eulerian Flow Maps를 따라 유동 맵을 사용하는 매핑 과정 동안 BFECC(back and forth error compensation and correction)를 적용합니다. adjoint 속도 $u∗_{r′→t_c}(x) = F_{t_c→r′}(x)u∗(Φ_{t_c→r′}(x),r′)$의 매핑을 예로 들면, BFECC 절차는 다음과 같습니다:

여기서 위첨자 (1)과 (2)는 BFECC 과정의 중간 단계를 나타냅니다. $F_{t_c→r′}(x)Λ^u_{r′→t_c}(Φ_{t_c→r′}(x))$와 같이 계산에 유동 맵을 사용하는 다른 항들도 유사하게 이 전략을 사용하여 계산됩니다.

압력 투영. 2D 시뮬레이션의 경우, Deng/2023b/Fluid Simulation on Neural Flow Maps와 Zhou/2024/Particle Flow Map에서와 같이 다중격자 사전조건자 켤레 기울기 솔버(MG-PCG)를 사용하여 푸아송 방정식을 풉니다. 3D 시뮬레이션의 경우, 계산 효율성을 높이기 위해 Sun/2025/Time-Sparse Eulerian Flow Maps에서 사용된 것과 같은 빠른 행렬 없는 대수적 다중격자 사전조건자 켤레 기울기(AMGPCG) 솔버를 채택합니다.

도함수 계산. 격자 상에서, 저희는 2차 유한 차분 기법을 사용하여 점성 항을 다음과 같이 계산합니다.

여기서 $N_g$는 $g$의 인접 격자점을 나타내며, 2D에서는 $|N_g| = 4$, 3D에서는 $|N_g| = 6$입니다. 수식 10과 수식 12의 결합 항 $∇u^⊤u∗$와 $ξ∗∇ξ$에 대해서는, 3차 커널 기반 보간법을 사용하여 다음과 같이 계산합니다.

여기서 $ζ$는 필드(u 또는 $ξ$)이고, $w3$는 지지 반경이 $2Δx$인 컴팩트 지지를 갖는 3차 커널입니다. 이웃 집합 $N_{w3_g} = \{g′ | w3(x_{g′} −x_g) > 0\}$는 $g$의 커널 지지 내에 있는 격자점들을 포함합니다. $∇u^⊤u∗$를 계산할 때, $u∗$와의 일관성을 위해 $∇u^⊤u∗$에 사용되는 $u$는 $u∗$와 함께 역방향으로 계산됩니다.

이 섹션에서는 먼저, adjoint 속도가 해석적 해를 갖는 특정 유동장과 목적 함수에 대해 저희 방법의 정확성을 검증합니다. 그런 다음 세 가지 대표적인 과제, 즉 비디오로부터 와류 동역학 추론, 와류 제어, 연기 제어에 대해 저희 접근법을 시연합니다. 이러한 과제들을 위해, 저희는 이전의 미분 가능 솔버들과 저희 방법을 비교하여 양적 및 질적 개선 사항을 모두 강조합니다. 각 과제에 대해, 실험별 최적화 매개변수와 함께 목적 함수 적분 대상 $J$(수식 3 참조)를 제시할 것입니다.

이 섹션에서는 먼저, 어드조인트 속도에 대한 해석적 해가 존재하는 특정 유동장과 목적 함수에 대해 우리 방법의 정확성을 검증합니다. 그 다음으로, 비디오로부터 와류 동역학 추론, 와류 제어, 연기 제어라는 세 가지 대표적인 과제에 우리 접근법을 시연합니다. 이 과제들에서 우리는 이전의 미분 가능 솔버들과 우리 방법을 비교하여 양적 및 질적 개선점을 모두 강조합니다. 각 과제에 대해, 실험별 최적화 파라미터와 함께 목적 함수 피적분 함수 $J$(수식 3 참조)를 제시할 것입니다.

검증 및 절제 테스트(Validation & Ablation Test). 먼저, 어드조인트 계산의 정확성을 위해 어드조인트가 알려진 경우에 대해 검증합니다: 강체 벽이 있는 비압축성 유동에 대해 $J= \frac{1}{2}\delta(t−r)∥u∥^2$를 선택하면 $u∗_t= u_t$ ($r≥t≥s$)가 되어 직접적인 속도 확인이 가능합니다. 모든 실험에서, 우리는 시뮬레이션을 100-500 스텝 동안 실행하고 200-800회의 최적화 반복을 수행했습니다. 그림 15는 단일 와류와 도약 와류(leapfrog vortices)에 대한 우리 결과의 정확성을 확인시켜 주며, 또한 Time-Sparse EFM만 사용하는 것은 큰 오차를 유발함을 보여주어 우리의 Long-Short Time-Sparse EFM의 필요성을 강조합니다. 3D 도약(3D leapfrog). 그림 16은 표준 자동 미분(autodiff)이 실패하는 사례인 3차원 도약 와류 링에 대한 우리의 어드조인트 계산을 확인시켜 줍니다. 이는 또한 순방향 또는 역방향 패스에 semi-Lagrangian 방법을 사용하면 부정확한 결과를 낳는다는 것을 보여줍니다. 다음으로, 알려진 해석적 유동을 통해 최적화 능력을 검증합니다. 점성 계수 추론(Viscosity Coefficient Inferring). 영역 $[0, 2\pi]^2$에서 나비에-스토크스 방정식은 테일러-그린 와류 $u = (\cos{x}\sin{y}, −\sin{x}\cos{y})e^{−2\nu t}$를 해로 가집니다. $800\Delta t$에서의 해석적 속도를 목표 $u_{target}$로 사용하고 점성 $\nu$를 최적화 파라미터로 취급하여, 그림 14에서 보여주듯이 $J= \frac{1}{2} \delta(t−r) (∥u_{target}∥^2 −∥u∥^2)$를 최소화함으로써 점성을 추론합니다.

예제. (1) 비디오로부터 와류 동역학 추론(Vortex Dynamics Inference from Videos). 이 과제는 유체 움직임의 단일 RGB 비디오(합성 또는 실제)로부터 16개의 와류로 표현되는 초기 속도장을 추론합니다 (Deng/2023/Learning Vortex Dynamics). 최적화 변수는 $(c_{x,i}, c_{y,i}, w_i, r_i), i= 1, ..., 16$이며, 이는 각 와류의 위치, 강도, 그리고 반경을 각각 나타냅니다. 목적 함수는 시뮬레이션된 프레임 $\xi_i$와 목표 비디오 프레임 $\xi_{i,gt}$ 간의 차이를 최소화합니다: $J= \frac{1}{2} \sum_k \sum_{i=1}^3 \delta(t−t_k)|\xi_i(x,t) −\xi_{i,gt}(x,t)|^2$. 여기서 $\xi_i, i= 1, 2, 3$은 R, G, B 채널에 대한 수동장(passive fields)을 나타내고, $t_k$는 $k$번째 프레임에 해당하는 시간을 나타냅니다. 최적화는 16개의 무작위로 배치된 와류로 초기화되며, RGB 비디오가 최적화 과정의 유일한 입력입니다. 우리는 왜곡된 2D 로고와 2D 그라데이션 배경(그림 2) 예제, 그리고 2D 세 개의 실린더와 2D 나뭇잎 장애물(그림 3)과 같은 장애물이 있는 더 복잡한 시나리오에서 초기 와도장을 추론하는 몇 가지 아름다운 결과들을 보여줍니다. 이 모든 것은 여러 장애물과 실제 환경을 포함한 복잡한 환경에서 우리 방법의 견고함과 일반성을 보여줍니다. 이 과제는 강력한 와류 보존을 요구하며, 이는 미분 가능한 플로우 맵을 사용해야만 달성할 수 있습니다.

(2) 2D 와류 제어(2D Vortex Control). 이 과제는 1-2개의 제어되는 와류의 초기 위치 $c^{ctrl}_{j,init}$를 최적화하여, 와류 상호작용을 통해 다른 와류들의 위치 $c_i(t)$를 목표 위치 $c^{target}_i$로 유도하는 것입니다. 손실은 $J= \sum_i \delta(t−r)∥c_i(t) −c^{target}_i∥^2_2$로 정의되며, 여기서 $c_i$는 와류 위치를, $c^{target}_i$는 목표 위치를 나타냅니다. $c_i$는 와류 상호작용과 초기 위치에 의존하는 $u_t$에 의해 구동되므로, 함수 $J$는 수식 3에서처럼 $u_t$의 함수로 볼 수 있으며 $c^{ctrl}_{j,init}$에 대해 최적화됩니다. 와류 제어는 와류 구조를 보존하는 것에 의존하기 때문에, 플로우 맵은 이 과제에 특히 적합합니다. 우리는 단일 와류 사례(그림 12), 다중 와류 단일 목표 사례, 그리고 다중 와류 다중 목표 사례(그림 13)의 시나리오를 제시합니다. 난이도가 점차 증가하는 이 예제들은 와류 구조를 보존하고 복잡한 시나리오에서 최적화를 위해 정확한 그래디언트를 계산하는 우리 방법의 능력을 보여줍니다.

(3) 2D 연기 제어(2D Smoke Control). 이 과제는 시간에 따라 변하는 제어력 $f$를 최적화하여 유체에 영향을 주고 연기를 목표 형태로 변형시키는 것입니다 (Chen/2024/Fluid Control; Treuille/2003/Fluid Control). 힘은 중심 $c_i$와 강도 벡터 $w_i$를 파라미터로 가지는 $m(m∼3000)$개의 가우시안 바람장 $f_i= w_i e^{−a∥x−c_i∥^2}$을 사용하여 모델링됩니다, $i= 1, ..,m$ (Treuille/2003/Fluid Control). 목적 함수 피적분 함수는 $J= \sum_{k \in K} \delta(t−t_k)|\xi(x,t) −\xi_{target}(x,t)|^2$이며, 여기서 $t_k$는 $k$번째 키 프레임의 시간을 나타냅니다. 우리는 2D GRAPH 형성 예제(그림 5a), 2D 생명체 진화 예제(그림 5b), 그리고 장애물이 있는 상황에서의 최적화를 포함하는 2D 박쥐 장애물 통과 예제(그림 10)를 통해 연속적인 키프레임 최적화를 선보입니다. 정확한 형태 제어와 유체의 사실성은 플로우 맵의 정확한 수동장 매핑과 강력한 이류 보존 덕분에 가능해졌습니다.

(4) 3D 연기 제어(3D Smoke Control). 우리는 위 과제를 3D 볼륨 설정으로 확장합니다. 우리는 다양한 해상도에 걸친 3D 구에서 아르마딜로로의 변형 비교(그림 8), 3D GRAPH에서의 연속적인 3D 형태 전환(그림 7), 그리고 3D 위상적 변형에서의 복잡한 위상 변화(그림 9)를 선보입니다. 이 예제들은 우리 방법이 3D에서도 정확성을 유지하여, 미세한 연기 가닥과 일관된 유동 구조의 보존을 가능하게 함을 보여줍니다.

비교(Comparison). 우리는 네 가지 실험에서 우리 어드조인트 방법의 효과를 입증하고 이를 기준 방법들과 비교합니다.

본 논문은 미분 가능한 유동 시뮬레이션의 정확성과 적용 가능성을 향상시키기 위해 미분 가능한 유동 맵 방법을 제시합니다. 몇 가지 한계점은 여전히 남아있습니다. 저희는 제어력과 속도장에 초점을 맞추었으며, 형상 최적화와 고체 경계 문제는 다루지 않았습니다. 자유 표면을 가진 비압축성 유동의 미분은 아직 탐구가 필요한 부분입니다. 향후 연구에서는 Li/2024c/Neuralfluid와 같은 형상 기반 설계 과제를 탐구하고, 실제 연기 이미지를 목표로 형상 최적화를 수행하며, 준-뉴턴 방법을 넘어서는 더 발전된 최적화 알고리즘을 실험할 수 있습니다.

저희는

Fig 1: Adjoint 솔버를 사용하여 플로우맵 상에서 미분 가능한 유체 시뮬레이션을 시연합니다. 상단: 목표 실루엣 간의 부드러운 모핑을 보여주는 2D 유체 형상 최적화 시퀀스. 중간: 여러 키프레임을 사용하여 3D 글자가 "G"에서 "R", "A", "P", "H"로 모핑되도록 안내하는 3D 유체 제어. 하단: 관찰된 과거 이미지 시퀀스로부터 미래의 유동 진화를 예측하는 와류 동역학 추론 과제. 이 논문은 양방향 플로우맵에 기반한 미분 가능한 유체 시뮬레이션을 위한 새로운 Adjoint 솔버를 제시합니다. 우리의 핵심 관찰은 순방향 유체 솔버와 그에 상응하는 역방향 Adjoint 솔버가 순방향 시뮬레이션과 동일한 플로우맵을 공유한다는 것입니다. 순방향 패스에서 이 맵은 초기 프레임에서 현재 프레임으로 유체 임펄스 변수를 전달하여 와류 동역학을 시뮬레이션합니다. 역방향 패스에서 동일한 맵은 현재 프레임에서 초기 프레임으로 Adjoint 변수를 전파하여 그래디언트를 계산합니다. 이 공유된 장거리 맵은 그래디언트 계산의 정확도가 플로우맵 구성의 개선으로부터 직접적으로 혜택을 받도록 합니다. 이 통찰을 바탕으로, 우리는 플로우맵 상에서 직접 Adjoint 방정식을 푸는 새로운 Adjoint 솔버를 도입하여, 기존의 Adjoint 방법에서 요구되는 중간 수치 단계의 미분이나 중간 변수 저장 없이 비압축성 유동의 장거리 및 정확한 미분을 가능하게 합니다. 효율성을 더욱 향상시키기 위해, 우리는 Adjoint 변수를 진화시키기 위한 장-단기 시간-희소 플로우맵 표현을 제안합니다. 우리의 접근 방식은 메모리 사용량이 적어 192³ 해상도에서 6.53GB의 데이터만 필요로 하면서도 와도 추적에서 높은 정확도를 유지하여, 와류 동역학의 정밀한 식별, 예측 및 제어가 필요한 새로운 미분 가능 시뮬레이션 과제를 가능하게 합니다.

Fig 2: 속도장 비디오로부터 와류 동역학 추론. 처음 4초 동안의 훈련을 통해 8개의 무작위 와류를 추론하고, 확장된 12초 예측 동안 정확도를 유지합니다.

Fig 3: 장애물 간섭이 있는 와류 동역학. 제안된 방법은 와류-장애물 상호작용이 있는 와류를 성공적으로 추론하여, 기하학적 제약 조건 주변의 정확한 장기 유동 예측을 가능하게 합니다.

Fig 4: 방법 개요. (a)에서는 순방향과 역방향 패스 간의 대칭성을 보여줍니다. 순방향 패스는 역방향 플로우맵 Ψ를 사용하여 u를 매핑하고, 역방향 패스는 순방향 플로우맵 Φ를 사용하여 u*를 매핑합니다. Ψ와 Φ는 모두 유동 방향과 반대이며 정확도를 위해 반복적인 장거리 적분이 필요하여, 기존 EFM의 𝑂(𝑚²) 시간 복잡도를 야기합니다. 여기서 𝑚은 플로우맵 길이입니다. (b)에서는 우리의 방법을 다른 미분 가능 접근법과 비교합니다. 낮은 정확도 때문에 기존 방법들은 F → ˆF 근사(파선 단방향 화살표)와 ˆF 직접 미분(파선 양방향 화살표)을 통해 B → ˆB(반투명 단방향 화살표)를 간접적으로 근사합니다. ˆB가 ˆF와 일관되더라도 B → ˆB는 부정확합니다. 반면, 우리 방법은 F와 B 사이의 엄격한 대응 관계를 활용합니다. 우리는 각각 F → ˆF와 B → ˆB의 정확한 근사를 구성하기만 하면(파선 양방향 화살표), ˆF와 ˆB 사이의 일관성은 플로우맵의 더 높은 정확도 덕분에 전이성을 통해 자연스럽게 따라옵니다(반투명 파선 양방향 화살표).

Fig 5: 2D 순차 최적화. 글자 모핑('G'→'R'→'A'→'P'→'H')과 생명체 진화를 포함한 2D 모핑 과제 시퀀스로, 목표 실루엣 간의 부드러운 전환을 보여줍니다. 각 행은 두 개의 연속된 키프레임 사이의 점진적인 변환을 보여주며, 목표 형상은 왼쪽에 표시됩니다.

Fig 6: 여러 방법에서의 장거리 플로우맵 진화 그림. 𝑚을 재초기화 간격이라고 할 때, 보통 𝑚= 15~60입니다. (a) EFM은 매 시간 단계마다 이전 재초기화 시간으로 반복적으로 되돌아가 Ψ𝑡→𝑠′를 계산합니다. 그림에서 각 곡선이 교차하는 단계의 수는 각 플로우맵 진화에 필요한 단계 수를 나타내며, 총 비용은 𝑂(𝑚²)이 됩니다. (b) 시간-희소 EFM은 재초기화 단계에서만 Ψ𝑡→𝑠′를 계산하여 비용을 𝑂(𝑚)으로 줄입니다. (c)(d) 우리의 개선된 시간-희소 EFM은 재초기화 단계 사이에 더 짧은 중간 플로우맵을 도입하여 중간 시간에서의 정확도를 향상시키면서도 전체 비용을 𝑂(𝑚)으로 유지합니다. 구체적으로 (b)에 비해 플로우맵 단계 수를 두 배로 늘립니다.

Fig 7: 3D 순차 최적화. 여러 키프레임을 사용하여 3D 유체 제어를 수행하여 "G"에서 "R", "A", "P", "H"로 이어지는 3D 형상 모핑 시퀀스를 안내합니다. 빨간색 상자는 유체 구성이 목표 형상과 성공적으로 일치하는 키프레임을 강조합니다.

Fig 8: 다양한 해상도에서의 아르마딜로 형상 모핑. 두 가지 해상도, 즉 192³(상단)과 128³(하단)에서의 형상 모핑 결과를 비교합니다. 초기 구체는 아르마딜로 형상과 일치하도록 점진적으로 최적화됩니다. 더 높은 해상도는 특히 빨간색 상자로 강조된 영역에서 더 미세한 기하학적 세부 사항을 보존합니다.

Fig 9: 복잡한 위상을 가진 3D 형상 모핑. 프레임 0, 50, 100, 150, 200에서 복잡한 위상 구조 간의 부드러운 전환을 보여주는 3D 형상 모핑 과제 시퀀스. 각 행은 단순한 모양에서 매우 복잡한 모양으로의 점진적인 변환을 보여주며, 삽입된 그림은 해당 목표 기하학을 보여줍니다. 모핑 과정은 위상적 특징을 보존하면서 점차적으로 기하학적 복잡성과 미세한 세부 사항을 도입합니다.

Fig 10: 장애물 제약이 있는 유체 형상 모핑. 장애물을 인식하는 형상 맞추기를 포함하는 도전적인 연기 제어 과제를 시연합니다. 제어력을 최적화함으로써 박쥐 모양의 유체는 틈새를 통과하여 목표 구성으로 변형됩니다.

Fig 11: 다양한 미분 가능 솔버와의 비교. 우리의 방법을 EigenFluids 및 반-라그랑지안(SL) 방법과 두 가지 과제, 즉 2D 연기 제어와 와류 추론에서 비교합니다. 1-3열: 2D 연기 제어 과제(용, 거북이, 뱀). SL은 정밀한 유체 제어에 실패하는 반면, EigenFluids와 최적화된 제어력이 적용된 SL(개선된 SL)은 유체를 유도할 수는 있지만 이류(advection) 성능이 저하되어 비현실적인 움직임을 보입니다. 대조적으로, 우리의 접근 방식은 미세한 디테일과 전체 부피를 보존하면서 정확한 제어를 달성하여 더 현실적인 유체 거동을 보여줍니다. 4열: 와류 추론 과제에서는 우리 방법만이 성공하여 우수한 정확도를 강조합니다.

Table 1: 과제 범주 및 미분 가능 방법 비교: 미분 가능 반-라그랑지안(SL), 미분 가능 Eigenfluids(Eigen), 그리고 우리 방법. 표에서 ✓와 ×는 솔버가 과제를 수행할 수 있는지 여부를 나타냅니다. 굵은 글씨 항목은 비교를 위해 선택된 실험을 나타내고, 밑줄 친 항목은 각 과제에서 가장 우수한 성능을 보인 솔버를 표시합니다.

Fig 12: 위치 및 와도 최적화를 통한 단일 와류 제어. 빨간색 와류의 위치와 와도를 최적화하여 파란색 와류를 목표 지점(빈 원으로 표시)으로 유도합니다. 상단 행은 최적화되지 않은 결과를 보여주고, 하단 행은 프레임 0, 400, 800에서 파란색 와류를 목표 지점으로 성공적으로 조종하는 최적화된 결과를 보여주며, 프레임 800에는 체커보드 패턴이 있습니다.

Fig 13: 다중 와류 제어. 단일 및 다중 목표를 포함하는 복잡한 제어 과제를 수행하기 위해 흰색 구의 위치와 와도를 최적화합니다. 빈 원은 목표 위치를 나타냅니다. 상단 행은 무작위로 초기화된 흰색 구의 결과를 보여주고, 하단 행은 최적화된 결과를 보여줍니다. 와도 및 렌더링된 결과의 스냅샷은 프레임 0, 400, 800에서 제공되며, 프레임 800에는 체커보드 패턴이 표시됩니다.

Fig 14: 예시. (1) 비디오로부터 와류 동역학 추론. 이 과제는 단일 RGB 유체 운동 비디오로부터 16개의 와류로 표현되는 초기 속도장을 추론합니다. 최적화 변수는 각 와류의 위치, 강도, 반경을 나타내는 (𝑐𝑥,𝑖, 𝑐𝑦,𝑖, 𝑤𝑖, 𝑟𝑖), 𝑖= 1, ..., 16입니다. 목적 함수는 시뮬레이션된 프레임 𝜉𝑖와 목표 비디오 프레임 𝜉𝑖,gt 간의 차이를 최소화합니다: 𝐽= 1/2 Σ𝑘 Σ³𝑖=1 𝛿(𝑡− 𝑡𝑘)|𝜉𝑖(x,𝑡) −𝜉𝑖,gt(x,𝑡)|². 여기서 𝜉𝑖, 𝑖= 1, 2, 3은 R, G, B 채널에 대한 수동장을 나타내고, 𝑡𝑘는 𝑘번째 프레임에 해당하는 시간을 나타냅니다. 최적화는 16개의 무작위로 배치된 와류로 초기화되며, RGB 비디오가 최적화 과정의 유일한 입력입니다. 우리는 Fig 2의 변형된 2D 로고 및 2D 그라데이션 배경 예시와 Fig 3의 2D 세 개의 실린더 및 2D 나뭇잎 장애물과 같은 더 복잡한 시나리오에서 초기 와도장을 추론하는 아름다운 결과를 보여줍니다. 이 모든 것은 다중 장애물과 실제 환경을 포함한 복잡한 환경에서 우리 방법의 견고성과 일반성을 보여줍니다. 이 과제는 강력한 와류 보존을 필요로 하며, 이는 미분 가능한 플로우맵을 사용해야만 달성할 수 있습니다. (2) 2D 와류 제어. 이 과제는 1-2개의 제어된 와류의 초기 위치 cctrl 𝑗,init를 최적화하여 위치 c𝑖(𝑡)를 가진 다른 와류들을 와류 상호작용을 통해 목표 위치 ctarget 𝑖로 유도합니다. 손실은 𝐽= Σ𝑖𝛿(𝑡−𝑟)∥c𝑖(𝑡) −ctarget 𝑖 ∥²/2로 정의됩니다. 여기서 c𝑖는 와류 위치를, ctarget 𝑖는 목표 위치를 나타냅니다. c𝑖는 와류 상호작용과 초기 위치에 의존하는 u𝑡에 의해 구동되므로, 함수 𝐽는 식 3에서처럼 u𝑡의 함수로 볼 수 있으며 cctrl 𝑗,init에 대해 최적화됩니다. 와류 제어는 와류 구조 보존에 의존하므로, 플로우맵은 이 과제에 특히 적합합니다. 우리는 Fig 12의 단일 와류 사례, Fig 13의 다중 와류 단일 목표 사례 및 다중 와류 다중 목표 사례의 시나리오를 제시합니다. 난이도가 증가하는 이 예시들은 우리 방법이 와류 구조를 보존하고 복잡한 시나리오에서 최적화를 위한 정확한 그래디언트를 계산하는 능력을 보여줍니다. (3) 2D 연기 제어. 이 과제는 시간에 따라 변하는 제어력 f를 최적화하여 유체에 영향을 주고 연기를 목표 형태로 변형시킵니다. 힘은 𝑚(𝑚∼3000)개의 가우시안 바람장 f𝑖= w𝑖𝑒−𝑎∥x−c𝑖∥²을 사용하여 모델링되며, 중심 c𝑖와 강도 벡터 w𝑖가 매개변수입니다(𝑖= 1, ..,𝑚). 목적 함수 피적분 함수는 𝐽= Σ𝑘∈𝐾𝛿(𝑡−𝑡𝑘)|𝜉(x,𝑡) −𝜉target(x,𝑡)|²입니다. 여기서 𝑡𝑘는 𝑘번째 키프레임의 시간을 나타냅니다. 우리는 Fig 5a의 2D GRAPH 형성 예제, Fig 5b의 2D 생명 진화 예제, 그리고 장애물이 있는 상황에서의 최적화를 포함하는 Fig 10의 2D 박쥐 장애물 통과 예제를 통해 연속적인 키프레임 최적화를 보여줍니다. 정확한 형상 제어와 유체 현실감은 플로우맵의 정밀한 수동장 매핑을 통해 가능해집니다.

Table 2: Fig 11의 2D 연기 제어 과제에 대한 최종 부피 보존 오차(%). 낮을수록 좋습니다.

Table 3: 다양한 예제에 대한 순방향 및 역방향 패스 간의 런타임(초) 및 GPU 메모리 비용(GB) 비교. 여기서 (F)와 (B)는 데이터가 각각 순방향 패스 또는 역방향 패스에 해당하는지를 나타냅니다. 보고된 시간은 단계당 시간이며 제어력과 같은 외부 입력 및 출력 계산은 제외됩니다. Poisson과 Advection은 각각 Poisson 방정식을 풀고 플로우맵을 이류시키는 단일 단계의 평균 비용을 보고합니다. 2D에서는 Taichi로 사용자 정의 Poisson 솔버를 구현했으며, 3D에서는 [Sun et al. 2025]의 고성능 MGPCG Poisson 솔버를 사용하여 3D Poisson 해결이 2D보다 훨씬 빠릅니다.

Fig 14: Taylor-Green 속도장 점성 추론. 해석적 해를 목표로 사용하여 우리 방법이 속도장으로부터 점성을 추론할 수 있는지 테스트합니다. 128, 256, 512 해상도에서의 결과가 표시됩니다.

Fig 15: Ablation 연구. 도약(왼쪽) 및 단일 와류(오른쪽) 테스트에 대한 Ablation 연구는 기존의 시간-희소 EFM이 정확한 Adjoint를 계산하지 못함을 보여줍니다. 도약 와류의 진화는 상당한 오차를 보이며, 단일 와류 입자는 에너지 곡선에서 지그재그 아티팩트를 나타내어, 우리의 장-단기 시간-희소 EFM의 필요성을 강조합니다.

Fig 16: 다른 방법을 사용한 순방향 및 역방향 프로세스의 3D 도약 비교. 순방향 및 역방향 계산을 모두 반-라그랑지안 방법으로 대체하는 테스트를 수행했으며, 결과는 플로우맵 방법이 양방향 모두에 필수적임을 확인시켜 줍니다. 이 실험은 또한 Adjoint 계산에서 우리 방법의 정확성을 보여줍니다.